Resolva usando Fatoração de Cholesky.
b)
\left\{\begin{array}{l} 30 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3}=16 \\\\ 7 x_{1}+30 x_{2}+8 x_{3}=38 \\\\ 9 x_{1}+8 x_{2}+30 x_{3}=38 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
\begin{cases} 30x_{1}+7x_{2}+9x_{3}=16,\\\\ 7x_{1}+30x_{2}+8x_{3}=38,\\\\ 9x_{1}+8x_{2}+30x_{3}=38 \end{cases}
pelo método de fatoração de Cholesky. Aqui A é a matriz dos coeficientes e \mathbf b o vetor dos termos independentes. Como A é simétrica e definida positiva, podemos escrever
A = LL^{T},
onde L é triangular inferior, depois resolveremos L\mathbf y=\mathbf b e L^{T}\mathbf x=\mathbf y.

Passo 2

Vamos determinar os elementos de L=(\ell_{ij}) usando as fórmulas padrão:
\ell_{11} = \sqrt{30},\quad \ell_{21} = \frac{7}{\ell_{11}},\quad \ell_{31} = \frac{9}{\ell_{11}}.
Em seguida
\ell_{22} = \sqrt{30 - \ell_{21}^2},\quad \ell_{32} = \frac{8 - \ell_{31}\,\ell_{21}}{\ell_{22}},
e por fim
\ell_{33} = \sqrt{30 - \ell_{31}^2 - \ell_{32}^2}.
Numericamente:
\ell_{11}\approx5{,}477,\, \ell_{21}\approx1{,}278,\, \ell_{31}\approx1{,}643,
\ell_{22}\approx5{,}326,\, \ell_{32}\approx1{,}108,\, \ell_{33}\approx5{,}106.
Logo
L\approx \begin{pmatrix} 5{,}477 & 0 & 0 \\\\ 1{,}278 & 5{,}326 & 0 \\\\ 1{,}643 & 1{,}108 & 5{,}106 \end{pmatrix}.

Passo 3

Resolvemos primeiro L\mathbf y=\mathbf b. Chamando \mathbf b=(16,38,38)^{T}, temos
y_{1} = \frac{16}{5{,}477}\approx2{,}922,
y_{2} = \frac{38 - 1{,}278\,y_{1}}{5{,}326} \approx\frac{38 - 1{,}278\cdot2{,}922}{5{,}326} \approx6{,}433,
y_{3} = \frac{38 - 1{,}643\,y_{1} - 1{,}108\,y_{2}}{5{,}106} \approx\frac{38 - 1{,}643\cdot2{,}922 - 1{,}108\cdot6{,}433}{5{,}106} \approx5{,}107.

Passo 4

Agora resolvemos L^{T}\mathbf x = \mathbf y, ou seja,
\begin{cases} 5{,}477\,x_{1} + 1{,}278\,x_{2} + 1{,}643\,x_{3} = 2{,}922,\\\\ 5{,}326\,x_{2} + 1{,}108\,x_{3} = 6{,}433,\\\\ 5{,}106\,x_{3} = 5{,}107. \end{cases}
Da última equação
x_{3} = \frac{5{,}107}{5{,}106}\approx1{,}000.
Da segunda
x_{2} = \frac{6{,}433 - 1{,}108\,x_{3}}{5{,}326} \approx\frac{6{,}433 - 1{,}108\cdot1}{5{,}326} \approx1{,}000.
Da primeira
x_{1} = \frac{2{,}922 - 1{,}278\,x_{2} - 1{,}643\,x_{3}}{5{,}477} \approx\frac{2{,}922 - 1{,}278 - 1{,}643}{5{,}477} \approx0{,}000.

Resposta

x_{1}=0,\quad x_{2}=1,\quad x_{3}=1

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