Exercício: Resolva o sistema usando Eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}=5 \\ x_{2}+x_{4}=6 \\ -3 x_{2}-3 x_{3}+7 x_{4}=7 \\ 2 x_{2}+4 x_{3}=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}-x_{4}=5,\\\ x_{2}+x_{4}=6,\\\\ -3x_{2}-3x_{3}+7x_{4}=7,\\\\ 2x_{2}+4x_{3}=0 \end{cases}
usando o método de Eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações de linha para triangularizá-la.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema na ordem (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & -1 & 5 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & -3 & -3 & 7 & 7 \\\\ 0 & 2 & 4 & 0 & 0 \end{array}\right]
O pivô de primeira coluna já está em posição e não há coeficientes abaixo dele, então avançamos para a segunda coluna, cujo pivô é 1 na segunda linha.

Passo 3

Eliminamos os coeficientes de x_{2} nas linhas 3 e 4 usando a linha 2:
  • R_{3} \leftarrow R_{3} + 3\,R_{2}
  • R_{4} \leftarrow R_{4} - 2\,R_{2}
Isso produz
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & -1 & 5 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & -3 & 10 & 25\\\\ 0 & 0 & 4 & -2 & -12 \end{array}\right].

Passo 4

Agora o pivô da terceira coluna é -3 em R_{3}. Eliminamos o 4 em R_{4} fazendo
R_{4} \leftarrow R_{4} + \frac{4}{3}\,R_{3}.
A quarta linha fica
0,\;0,\;0,\;\frac{34}{3}\;\big|\;\frac{64}{3},
e a matriz torna-se triangular superior:
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & -1 & 5 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & -3 & 10 & 25\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{34}{3} & \tfrac{64}{3} \end{array}\right].

Passo 5

Fazemos agora retro‐substituição:
  1. Da quarta linha: \displaystyle \frac{34}{3}\,x_{4}=\frac{64}{3} implica
x_{4}=\frac{64/3}{34/3}=\frac{64}{34}=\frac{32}{17}.
  1. Da terceira linha: -3\,x_{3}+10\,x_{4}=25 então
-3\,x_{3}=25-10\cdot\frac{32}{17} =\frac{425-320}{17}=\frac{105}{17} \;\Longrightarrow\; x_{3}=-\frac{105}{51}=-\frac{35}{17}.
  1. Da segunda linha: x_{2}+x_{4}=6
x_{2}=6-\frac{32}{17}=\frac{102-32}{17}=\frac{70}{17}.
  1. Da primeira linha: 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}-x_{4}=5 leva a
3x_{1}=5-2\cdot\frac{70}{17}-\bigl(-\tfrac{35}{17}\bigr)+\frac{32}{17} =\frac{85-140+35+32}{17}=\frac{12}{17} \;\Longrightarrow\; x_{1}=\frac{4}{17}.

Resposta

x_{1}=\frac{4}{17},\quad x_{2}=\frac{70}{17},\quad x_{3}=-\frac{35}{17},\quad x_{4}=\frac{32}{17}.

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