Questão 3 ( 3,5 pontos) Considere a integral
I=\int_{-1}^{1} e^{-x^{2}} d x
a) Calcule I pela regra do trapézio usando h=1;
b) Calcule I pela regra 1 / 3 de Simpson usando h=1;
c) Calcule I pela quadratura gaussiana com 2 pontos;
d) Sabendo que o valor exato de I (com 5 casas decimais) é 1.49365, compare os resultados obtidos em (a) e (b), explique o que entendeu.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{-1}^{1} e^{-x^{2}}\,dx
pelas seguintes regras de quadratura numérica: a) regra composta do trapézio com passo h=1; b) regra de Simpson 1/3 com h=1; c) quadratura de Gauss com 2 pontos; e d) comparar os resultados de (a) e (b) com o valor exato 1,49365.

Passo 2

Para a regra composta do trapézio com dois subintervalos n=2 e h=1, os nós são
x_0 = -1,\quad x_1 = 0,\quad x_2 = 1,
e
f(x_0)=e^{-1},\quad f(x_1)=e^{0}=1,\quad f(x_2)=e^{-1}.
A fórmula composta é
T = h\Bigl(\frac{f(x_0)+f(x_2)}{2} + f(x_1)\Bigr).
Substituindo,
T = 1\Bigl(\frac{e^{-1}+e^{-1}}{2} + 1\Bigr) = e^{-1} + 1 \approx 1 + 0{,}367879 = 1{,}367879.

Passo 3

Para a regra de Simpson 1/3 com n=2 e h=1, usamos
S = \frac{h}{3}\bigl[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr].
Logo,
S = \frac{1}{3}\bigl[e^{-1} + 4\cdot 1 + e^{-1}\bigr] = \frac{2e^{-1}+4}{3} \approx \frac{0{,}735758 + 4}{3} = \frac{4{,}735758}{3} \approx 1{,}578586.

Passo 4

Na quadratura de Gauss com 2 pontos para [-1,1], os nós e pesos são
x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}},\quad w = 1,
e a aproximação é
G = \sum_{i=1}^{2} w_i\,f(x_i) = f\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr) + f\bigl(\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr).
Como f(x)=e^{-x^2} é par,
G = 2\,e^{-\tfrac{1}{3}} \approx 2 \times 0{,}716531 = 1{,}433062.

Passo 5

Os valores aproximados são:
\text{Trapézio: }1{,}367879,\quad \text{Simpson: }1{,}578586,\quad \text{Exato: }1{,}49365.é
O método do trapézio subestima porque aproxima a curva por segmentos retos (ordem de erro O(h^2)), gerando erro de cerca de 0{,}1258. Já Simpson usa interpolação quadrática (ordem de erro O(h^4)), ficando mais próximo do valor exato, embora com ligeira superestimação \approx0{,}0849.

Resposta

(a) 1{,}367879
(b) 1{,}578586
(c) 1{,}433062
(d) A regra do trapézio subestima a integral porque faz aproximação linear e tem ordem de convergência menor, enquanto Simpson, ao usar interpolação quadrática, apresenta maior precisão e fica mais próximo do valor exato.

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