Questão 3 ( 3,5 pontos) Considere a integral
a) Calcule I pela regra do trapézio usando
;
b) Calcule I pela regra
de Simpson usando
;
c) Calcule I pela quadratura gaussiana com 2 pontos;
d) Sabendo que o valor exato de I (com 5 casas decimais) é 1.49365, compare os resultados obtidos em (a) e (b), explique o que entendeu.
b) Calcule I pela regra
c) Calcule I pela quadratura gaussiana com 2 pontos;
d) Sabendo que o valor exato de I (com 5 casas decimais) é 1.49365, compare os resultados obtidos em (a) e (b), explique o que entendeu.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
pelas seguintes regras de quadratura numérica: a) regra composta do trapézio com passo
; b) regra de Simpson 1/3 com
; c) quadratura de Gauss com 2 pontos; e d) comparar os resultados de (a) e (b) com o valor exato
.
Passo 2
Para a regra composta do trapézio com dois subintervalos
e
, os nós são
e
A fórmula composta é
Substituindo,
Passo 3
Para a regra de Simpson 1/3 com
e
, usamos
Logo,
Passo 4
Na quadratura de Gauss com 2 pontos para
, os nós e pesos são
e a aproximação é
Como
é par,
Passo 5
Os valores aproximados são:
O método do trapézio subestima porque aproxima a curva por segmentos retos (ordem de erro
), gerando erro de cerca de
. Já Simpson usa interpolação quadrática (ordem de erro
), ficando mais próximo do valor exato, embora com ligeira superestimação
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) A regra do trapézio subestima a integral porque faz aproximação linear e tem ordem de convergência menor, enquanto Simpson, ao usar interpolação quadrática, apresenta maior precisão e fica mais próximo do valor exato.
(b)
(c)
(d) A regra do trapézio subestima a integral porque faz aproximação linear e tem ordem de convergência menor, enquanto Simpson, ao usar interpolação quadrática, apresenta maior precisão e fica mais próximo do valor exato.