Usando a primeira regra de \operatorname{simpson}(h=1) Calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro ( n=6 )
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+5 x+6\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{7} \bigl(x^{2} + 5x + 6\bigr)\,dx
usando a regra de Simpson 1/3 com passo h=1 e n=6, e comparar com o valor exato para determinar o erro.

Passo 2

Como h=(7-1)/6=1, os nós são
x_{i} = 1 + i\quad (i=0,1,\dots,6),
isto é \{1,2,3,4,5,6,7\}. Avaliando
f(x)=x^{2}+5x+6
em cada nó, obtemos
f(1)=12,\;f(2)=20,\;f(3)=30,\;f(4)=42,\;f(5)=56,\;f(6)=72,\;f(7)=90.

Passo 3

A regra de Simpson 1/3 diz
I_{\text{S}} = \frac{h}{3}\Bigl[f_{0} + 4\bigl(f_{1}+f_{3}+f_{5}\bigr) + 2\bigl(f_{2}+f_{4}\bigr) + f_{6}\Bigr].
Substituindo h=1 e os valores de f_{i}:
f_{0}=12,\;f_{6}=90,\;\sum_{\substack{i=1,3,5}}f_{i}=20+42+72=134,\;\sum_{\substack{i=2,4}}f_{i}=30+56=86,
logo
I_{\text{S}} = \frac{1}{3}\bigl[12 + 4\cdot134 + 2\cdot86 + 90\bigr] = \frac{1}{3}\bigl[12 + 536 + 172 + 90\bigr] = \frac{810}{3} = 270.

Passo 4

Para o valor exato, achamos a primitiva
\int\bigl(x^{2}+5x+6\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} + 6x,
e avaliamos de 1 a 7:
\Bigl[\tfrac{7^{3}}{3} + \tfrac{5\cdot7^{2}}{2} + 6\cdot7\Bigr] - \Bigl[\tfrac{1^{3}}{3} + \tfrac{5\cdot1^{2}}{2} + 6\cdot1\Bigr] = \frac{1673}{6} - \frac{53}{6} = \frac{1620}{6} = 270.

Passo 5

O erro é a diferença entre o valor exato e o aproximado:
\text{Erro} = I - I_{\text{S}} = 270 - 270 = 0.

Resposta

I_{\text{aprox}} = 270 I_{\text{exato}} = 270
Erro = 0

Exercícios relacionados