Explique o conceito de refinamento de raiz. Por que métodos iterativos como Newton-Raphson e Secante são mais eficientes que o método dà bisseção em certos contextos? (2,0 PONTOS)

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é refinamento de raiz (ou seja, obter aproximações sucessivamente melhores de uma solução de \,f(x)=0) e comparar a eficiência de métodos iterativos (Newton–Raphson e Secante) com o método da bisseção. O conteúdo envolvido é teoria de métodos numéricos para achar raízes de funções.

Passo 2

Refinamento de raiz significa começar com uma aproximação inicial (ou um intervalo que contenha a raiz) e gerar uma sequência de valores x_{0},x_{1},x_{2},\dots que se aproxime cada vez mais de uma solução exata r de \,f(x)=0. A cada iteração aplicamos uma fórmula que depende de propriedades da função (valor, derivada ou valores anteriores) para reduzir o erro \epsilon_{n}=|x_{n}-r|.

Passo 3

No método da bisseção partimos de um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos. A cada passo dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Isso garante convergência (pelo Teorema do Valor Intermediário) e reduz o erro de forma linear, pois após n iterações o tamanho do intervalo é
\frac{b-a}{2^{n}}.

Passo 4

O método de Newton–Raphson usa a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
e, quando f é duas vezes diferenciável e o chute inicial está suficientemente perto da raiz, a convergência é quadrática: em torno da raiz
\epsilon_{n+1}\approx C\,\epsilon_{n}^{2}.
O método da Secante dispensa o cálculo explícito de f' e utiliza
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\,\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})},
obtendo convergência superlinear de ordem aproximadamente 1{,}62.

Passo 5

Como Newton–Raphson e Secante apresentam convergência muito mais rápida (quadrática ou superlinear) do que a convergência linear da bisseção, eles geralmente alcançam a precisão desejada em muito menos iterações. Em contextos onde a função é suave e temos derivada ou valores anteriores disponíveis, isso se traduz em grande ganho de eficiência. Já a bisseção, embora robusta e garantida, pode demandar muitas iterações para obter alta precisão.

Resposta

O refinamento de raiz é a construção de uma sequência de aproximações que converge para uma solução de \,f(x)=0. Métodos iterativos como Newton–Raphson e Secante são mais eficientes que a bisseção quando a função é suave, porque sua ordem de convergência (quadrática ou superlinear) faz o erro cair muito mais rápido do que na bisseção (convergência linear), resultando em bem menos iterações para atingir a mesma precisão.

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