Explique o conceito de refinamento de raiz. Por que métodos iterativos como Newton-Raphson e Secante são mais eficientes que o método dà bisseção em certos contextos? (2,0 PONTOS)
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que é refinamento de raiz (ou seja, obter aproximações sucessivamente melhores de uma solução de
) e comparar a eficiência de métodos iterativos (Newton–Raphson e Secante) com o método da bisseção. O conteúdo envolvido é teoria de métodos numéricos para achar raízes de funções.
Passo 2
Refinamento de raiz significa começar com uma aproximação inicial (ou um intervalo que contenha a raiz) e gerar uma sequência de valores
que se aproxime cada vez mais de uma solução exata
de
. A cada iteração aplicamos uma fórmula que depende de propriedades da função (valor, derivada ou valores anteriores) para reduzir o erro
.
Passo 3
No método da bisseção partimos de um intervalo
onde
e
têm sinais opostos. A cada passo dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Isso garante convergência (pelo Teorema do Valor Intermediário) e reduz o erro de forma linear, pois após
iterações o tamanho do intervalo é
Passo 4
O método de Newton–Raphson usa a iteração
e, quando
é duas vezes diferenciável e o chute inicial está suficientemente perto da raiz, a convergência é quadrática: em torno da raiz
O método da Secante dispensa o cálculo explícito de
e utiliza
obtendo convergência superlinear de ordem aproximadamente
.
Passo 5
Como Newton–Raphson e Secante apresentam convergência muito mais rápida (quadrática ou superlinear) do que a convergência linear da bisseção, eles geralmente alcançam a precisão desejada em muito menos iterações. Em contextos onde a função é suave e temos derivada ou valores anteriores disponíveis, isso se traduz em grande ganho de eficiência. Já a bisseção, embora robusta e garantida, pode demandar muitas iterações para obter alta precisão.
Resposta
O refinamento de raiz é a construção de uma sequência de aproximações que converge para uma solução de
. Métodos iterativos como Newton–Raphson e Secante são mais eficientes que a bisseção quando a função é suave, porque sua ordem de convergência (quadrática ou superlinear) faz o erro cair muito mais rápido do que na bisseção (convergência linear), resultando em bem menos iterações para atingir a mesma precisão.