A frequência angular que anula a reatância de um circuito RLC série é dada por: ( 4,0 / 2,0 PONTOS)
f(\omega)=\omega L-\frac{1}{\omega C}
Sabendo que:
  • L=1 m H
  • C=100 n F
    a) Modele a função f(\omega) e determine a raiz com o método da bisseção, com precisão de 10^{-3}
    b) Encóntre o valor da frequência f=\omega / 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para achar a pulsação \omega que anula a reatância de um RLC série, ou seja, resolver
f(\omega)=\omega L - \frac{1}{\omega C}=0
usando o método da bisseção com precisão de 10^{-3} em \omega. Em seguida, calcular a frequência em hertz por
f = \frac{\omega}{2\pi}.

Passo 2

Modelando com L=1\text{ mH}=1\times10^{-3}\,\mathrm{H} e C=100\text{ nF}=100\times10^{-9}\,\mathrm{F}, temos
f(\omega) = \omega\,(1\times10^{-3}) \;-\;\frac{1}{\omega\,(100\times10^{-9})} =1\times10^{-3}\,\omega \;-\;\frac{1\times10^{7}}{\omega}.

Passo 3

Escolhemos um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Por exemplo:
a=1\times10^{4},\quad f(a)=1\times10^{-3}\cdot10^{4}-\frac{10^{7}}{10^{4}} =10-1000=-990\;<0,
b=2\times10^{5},\quad f(b)=1\times10^{-3}\cdot2\cdot10^{5}-\frac{10^{7}}{2\cdot10^{5}} =200-50=150\;>0.

Passo 4

Aplicamos a bisseção até que b-a<10^{-3}. Demonstração das primeiras iterações:
  1. \omega_1=(a+b)/2=1.05\times10^{5},\;f(\omega_1)=105-95,24=9,76>0 \;\Rightarrow b\gets\omega_1.
  2. \omega_2=(10^{4}+1{,}05\times10^{5})/2=5{,}75\times10^{4},\;f(\omega_2)=57{,}5-173{,}91=-116{,}41<0 \;\Rightarrow a\gets\omega_2.
  3. \omega_3=(5{,}75\times10^{4}+1{,}05\times10^{5})/2=8{,}125\times10^{4},\;f(\omega_3)=81{,}25-123{,}08=-41{,}83<0 \;\Rightarrow a\gets\omega_3.
  4. \omega_4=(8{,}125\times10^{4}+1{,}05\times10^{5})/2=9{,}8125\times10^{4},\;f(\omega_4)=98{,}125-101{,}94=-3{,}815<0 \;\Rightarrow a\gets\omega_4.
Continuando até b-a<10^{-3}, obtemos
\omega \approx 1{,}00000\times10^{5}\;\mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcula-se a frequência em hertz por
f = \frac{\omega}{2\pi} \approx \frac{1{,}00000\times10^{5}}{2\pi} \approx 1{,}59155\times10^{4}\;\mathrm{Hz}.

Resposta

\omega\approx1{,}00000\times10^{5}\,\mathrm{rad/s}
f\approx1{,}5916\times10^{4}\,\mathrm{Hz}

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