Explique a fórmula do número de diagonais de um polígono qualquer:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra explicar de onde sai a fórmula do número de diagonais de um polígono com lados. Isso cai em conteúdos de contagem básica em geometria/combinatória. Vamos precisar entender:
  1. O que é uma diagonal (segmento que liga dois vértices não vizinhos).
  2. Como contar quantas diagonais saem de cada vértice.
  3. Por que depois precisamos dividir por 2 pra não contar cada diagonal duas vezes.

Passo 2

Primeiro, pega um polígono qualquer com vértices. Fixa um vértice qualquer, chama de . Dessas vértices totais:
  • Você não pode ligar a ele mesmo (não faz sentido).
  • Você não pode ligar aos dois vértices adjacentes (esses são lados, não diagonais).
    Logo, de restam vértices “não vizinhos” com quem ele pode formar uma diagonal.

Passo 3

Como cada um dos n times (n - 3) vértices gera n(n - 3)2 diagonais, você poderia pensar que o total é
binomn2 = n(n-1)2
Porém, nesse cálculo cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez de cada ponta). Então a gente divide por 2:
n(n-1)2 - n = n(n-1) - 2n2 = n(n-3)2
Uma outra forma de chegar na mesma conta é assim: o número de segmentos que ligam quaisquer dois dos vértices é
Destes, são justamente os lados do polígono. Tirando os lados, sobra

Resposta

A fórmula do número de diagonais de um polígono com boxedD = n(n - 3)2 lados é

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