Explique a fórmula do número de diagonais de um polígono qualquer:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra explicar de onde sai a fórmula do número de diagonais de um polígono com
lados. Isso cai em conteúdos de contagem básica em geometria/combinatória. Vamos precisar entender:
- O que é uma diagonal (segmento que liga dois vértices não vizinhos).
- Como contar quantas diagonais saem de cada vértice.
- Por que depois precisamos dividir por 2 pra não contar cada diagonal duas vezes.
Passo 2
Primeiro, pega um polígono qualquer com
vértices. Fixa um vértice qualquer, chama de
. Dessas
vértices totais:
- Você não pode ligar
a ele mesmo (não faz sentido). - Você não pode ligar
aos dois vértices adjacentes (esses são lados, não diagonais).
Logo, derestam vértices “não vizinhos” com quem ele pode formar uma diagonal.
Passo 3
Como cada um dos
vértices gera
diagonais, você poderia pensar que o total é
Porém, nesse cálculo cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez de cada ponta). Então a gente divide por 2:
Uma outra forma de chegar na mesma conta é assim: o número de segmentos que ligam quaisquer dois dos
vértices é
Destes,
são justamente os lados do polígono. Tirando os lados, sobra
Resposta
A fórmula do número de diagonais de um polígono com
lados é