Explique (não resolva) como modificar cada equação de maneira que somente uma função trigonométrica esteja presente.
2 \cos ^{2} \theta=\operatorname{sen} \theta+1
2 \cos ^{2} \theta=\operatorname{sen} \theta+1
Passo 1
O enunciado pede que eu explique como modificar a equação de forma que nela apareça apenas uma função trigonométrica. A equação dada é:
As informações relevantes são:
- A equação envolve
(cosseno ao quadrado) e (seno). - Quero reescrever/transformar essa equação para que reste apenas UMA família de função trigonométrica (por exemplo: só
, ou só , ou só ), sem resolver .
Passo 2
Identidade útil 1 (identidade pitagórica): a relação básica entre seno e cosseno é
Dessa identidade segue que
Ideia: substituir
por
na equação original, assim eliminamos o cosseno deixando só o seno.
Passo 3
Faço a substituição indicada na equação original. Parto de
e uso
, obtendo
Agora explico cada passo algébrico para simplificar: primeiro distribuo o
:
Em seguida trago tudo para o mesmo lado para obter uma equação polinomial em
: subtraio
de ambos os lados,
o que simplifica para
Multiplicando por
(para ficar com o coeficiente do quadrado positivo),
Observação pedagógica: agora a equação está escrita apenas em termos de
— é uma quadrática em
. Em prova você pode fazer a substituição
e resolver a quadrática para
, mas aqui paramos antes de achar
.
Passo 4
Outra abordagem: escrever a equação usando apenas cosseno. Para isso uso a identidade de cofunção:
Substituindo esse
na equação original obtemos apenas cossenos (talvez com argumentos diferentes). Parto de
e substituo
por
, ficando
Além disso posso usar a identidade do cosseno de ângulo duplo:
ou seja
. Subtraindo 1 de ambos os lados na equação substituída, chego a
Agora a equação envolve apenas a função
(aparecem cossenos de argumentos diferentes). Em prova, para resolver, usar-se-ia a propriedade
, mas não vamos resolver aqui.
Passo 5
Observação sobre tentar obter uma equação só em
: se você dividir a equação original por
(assumindo momentaneamente
) obtém
Reescrevendo
e
dá
Usando
obtemos
ou
Perceba que ainda aparece
(ou, se substituir
, aparecem raízes e sinais ±). Conclusão prática: transformar para uma equação puramente em
sem introduzir raízes é menos direto e costuma ser mais trabalhoso em prova; por isso as abordagens em
(identidade pitagórica) ou em
(identidade de cofunção + ângulo duplo) são mais limpas.