Explique (não resolva) como modificar cada equação de maneira que somente uma função trigonométrica esteja presente.
2 \cos ^{2} \theta=\operatorname{sen} \theta+1

Passo 1

O enunciado pede que eu explique como modificar a equação de forma que nela apareça apenas uma função trigonométrica. A equação dada é:
2\cos^{2}\theta=\operatorname{sen}\theta+1
As informações relevantes são:
  • A equação envolve \cos^{2}\theta (cosseno ao quadrado) e \operatorname{sen}\theta (seno).
  • Quero reescrever/transformar essa equação para que reste apenas UMA família de função trigonométrica (por exemplo: só \sin, ou só \cos, ou só \tan), sem resolver \theta.

Passo 2

Identidade útil 1 (identidade pitagórica): a relação básica entre seno e cosseno é
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Dessa identidade segue que
\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta.
Ideia: substituir \cos^{2}\theta por 1-\sin^{2}\theta na equação original, assim eliminamos o cosseno deixando só o seno.

Passo 3

Faço a substituição indicada na equação original. Parto de
2\cos^{2}\theta=\sin\theta+1
e uso \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta, obtendo
2(1-\sin^{2}\theta)=\sin\theta+1.
Agora explico cada passo algébrico para simplificar: primeiro distribuo o 2:
2-2\sin^{2}\theta=\sin\theta+1.
Em seguida trago tudo para o mesmo lado para obter uma equação polinomial em \sin\theta: subtraio \sin\theta+1 de ambos os lados,
2-2\sin^{2}\theta-(\sin\theta+1)=0,
o que simplifica para
-2\sin^{2}\theta-\sin\theta+1=0.
Multiplicando por -1 (para ficar com o coeficiente do quadrado positivo),
2\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0.
Observação pedagógica: agora a equação está escrita apenas em termos de \sin\theta — é uma quadrática em \sin\theta. Em prova você pode fazer a substituição x=\sin\theta e resolver a quadrática para x, mas aqui paramos antes de achar \theta.

Passo 4

Outra abordagem: escrever a equação usando apenas cosseno. Para isso uso a identidade de cofunção:
\sin\theta=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right).
Substituindo esse \sin\theta na equação original obtemos apenas cossenos (talvez com argumentos diferentes). Parto de
2\cos^{2}\theta=\sin\theta+1
e substituo \sin\theta por \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right), ficando
2\cos^{2}\theta=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)+1.
Além disso posso usar a identidade do cosseno de ângulo duplo:
\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1,
ou seja 2\cos^{2}\theta-1=\cos2\theta. Subtraindo 1 de ambos os lados na equação substituída, chego a
\cos2\theta=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right).
Agora a equação envolve apenas a função \cos (aparecem cossenos de argumentos diferentes). Em prova, para resolver, usar-se-ia a propriedade \cos A=\cos B \Rightarrow A=\pm B+2k\pi, mas não vamos resolver aqui.

Passo 5

Observação sobre tentar obter uma equação só em \tan: se você dividir a equação original por \cos^{2}\theta (assumindo momentaneamente \cos\theta\neq0) obtém
2=\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta}.
Reescrevendo \frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}=\tan\theta\operatorname{sec}\theta e \frac{1}{\cos^{2}\theta}=\operatorname{sec}^{2}\theta
2=\tan\theta\operatorname{sec}\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta.
Usando \operatorname{sec}^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta obtemos
2=\tan\theta\operatorname{sec}\theta+1+\tan^{2}\theta,
ou
\tan^{2}\theta+\tan\theta\operatorname{sec}\theta-1=0.
Perceba que ainda aparece \operatorname{sec}\theta (ou, se substituir \operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}, aparecem raízes e sinais ±). Conclusão prática: transformar para uma equação puramente em \tan sem introduzir raízes é menos direto e costuma ser mais trabalhoso em prova; por isso as abordagens em \sin (identidade pitagórica) ou em \cos (identidade de cofunção + ângulo duplo) são mais limpas.

Resposta

2\sin^{2}\theta+\sin\theta-1=0
\cos2\theta=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)

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