Nestas questões, observa que não há um intervalo estipulado.
Resolver a equação trigonométrica
.
Resolver a equação trigonométrica
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Vamos simplificar a notação para tratar a equação como uma equação algébrica: faça a substituição
onde
representa o valor numérico do seno do ângulo
. Com isso, a equação fica
Explico: trocar
por
transforma a equação trigonométrica numa equação quadrática mais fácil de manipular.
Passo 3
Subtraindo
dos dois lados obtemos uma forma padrão de equação quadrática:
Aqui apenas movemos todos os termos para um lado para poder fatorar.
Passo 4
Fatorando o lado esquerdo usando a propriedade distributiva (fator comum
):
Aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero.
Passo 5
Pelas raízes do produto nulo obtemos duas possibilidades para
:
Passo 6
Agora voltamos à variável original
. As duas possibilidades viram
Mas lembre-se de uma propriedade importante do seno: para todo
real vale
Portanto a equação
não tem solução, porque
está fora do intervalo possível dos valores do seno.
Passo 7
Fica então somente a equação válida
Vamos achar a solução geral dessa equação. O seno é nulo nos ângulos
e
no ciclo principal, e o seno tem período
, isto é,
Logo as soluções básicas são
Passo 8
Podemos escrever as duas famílias de soluções juntas de forma compacta. Note que os dois conjuntos acima correspondem exatamente a todos os múltiplos inteiros de
:
Seja
, qualquer inteiro pode ser escrito como
ou
. Portanto a solução geral é