Nestas questões, observa que não há um intervalo estipulado.
Resolver a equação trigonométrica \operatorname{sen}^{2} x=2 \operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
\operatorname{sen}^{2} x = 2\operatorname{sen} x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i)}\\ \operatorname{sen}^{2}x = (\operatorname{sen}x)^2.
\text{(ii)}\\ \text{Não foi dado nenhum intervalo para }x\text{, portanto devemos encontrar a solução geral.}ãçã

Passo 2

Vamos simplificar a notação para tratar a equação como uma equação algébrica: faça a substituição
s = \operatorname{sen} x,
onde s representa o valor numérico do seno do ângulo x. Com isso, a equação fica
s^{2} = 2s.
Explico: trocar \operatorname{sen}x por s transforma a equação trigonométrica numa equação quadrática mais fácil de manipular.

Passo 3

Subtraindo 2s dos dois lados obtemos uma forma padrão de equação quadrática:
s^{2} - 2s = 0.
Aqui apenas movemos todos os termos para um lado para poder fatorar.

Passo 4

Fatorando o lado esquerdo usando a propriedade distributiva (fator comum s):
s(s-2) = 0.
Aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero.

Passo 5

Pelas raízes do produto nulo obtemos duas possibilidades para s:
s = 0 \quad\text{ou}\quad s = 2.

Passo 6

Agora voltamos à variável original \operatorname{sen}x. As duas possibilidades viram
\operatorname{sen}x = 0 \quad\text{ou}\quad \operatorname{sen}x = 2.
Mas lembre-se de uma propriedade importante do seno: para todo x real vale
-1 \le \operatorname{sen}x \le 1.
Portanto a equação \operatorname{sen}x = 2 não tem solução, porque 2 está fora do intervalo possível dos valores do seno.

Passo 7

Fica então somente a equação válida
\operatorname{sen}x = 0.
Vamos achar a solução geral dessa equação. O seno é nulo nos ângulos 0 e \pi no ciclo principal, e o seno tem período 2\pi, isto é,
\operatorname{sen}(x+2\pi) = \operatorname{sen}x.
Logo as soluções básicas são
x = 0 + 2k\pi \quad\text{e}\quad x = \pi + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 8

Podemos escrever as duas famílias de soluções juntas de forma compacta. Note que os dois conjuntos acima correspondem exatamente a todos os múltiplos inteiros de \pi:
0 + 2k\pi = 2k\pi,\qquad \pi + 2k\pi = (2k+1)\pi.
Seja n\in\mathbb{Z}, qualquer inteiro pode ser escrito como n=2k ou n=2k+1. Portanto a solução geral é
x = n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.

Resposta

x = n\pi,\\ n\in\mathbb{Z}

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