Explique (não resolva) como modificar cada equação de maneira que somente uma função trigonométrica esteja presente.
1+\cot ^{2} \theta=3 \operatorname{cossec} \theta

Passo 1

O enunciado dá a equação
1+\cot^{2}\theta=3\operatorname{cossec}\theta
e pede para eu explicar como modificar essa equação de modo que somente uma função trigonométrica apareça. Informações relevantes que já estão na questão: a notação \operatorname{cossec}\theta é a mesma que \csc\theta, e ambas as funções \cot\theta e \csc\theta não estão definidas quando \sin\theta=0. Portanto devemos sempre lembrar que \sin\theta\neq0 ao manipular a equação.

Passo 2

Vou usar uma identidade trigonométrica padrão que relaciona \cot e \csc. A identidade é
1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta.
Explicando por que isto vale: escrevendo \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} temos
1+\cot^{2}\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}+\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\frac{1}{\sin^{2}\theta}=\csc^{2}\theta.
Aqui usei a identidade pitagórica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 e a definição \csc\theta=1/\sin\theta.

Passo 3

Substituindo a identidade na equação dada obtemos uma forma em que só aparece \csc:
\csc^{2}\theta=3\csc\theta.
Pronto — essa já é uma versão da equação com apenas uma função trigonométrica ( \csc) presente.

Passo 4

Se a ideia for ter a equação escrita somente em termos de \sin (ou seja, em termos da função seno), substituímos \csc\theta por 1/\sin\theta. Assim
\csc^{2}\theta=\frac{1}{\sin^{2}\theta}\quad\text{e}\quad\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},
e a equação vira
\frac{1}{\sin^{2}\theta}=\frac{3}{\sin\theta}.

Passo 5

Para eliminar os denominadores e obter uma equação com uma única função trigonométrica sem frações, multiplicamos ambos os lados por \sin^{2}\theta. Como observado no Passo 1, isso é legítimo porque \sin\theta\neq0 (caso contrário \cot e \csc seriam indefinidos). Fazendo a multiplicação:
1=3\sin\theta.
Agora a equação está escrita usando apenas \sin\theta.

Resposta

\csc^{2}\theta=3\csc\theta
1=3\sin\theta

Exercícios relacionados