Explique (não resolva) como modificar cada equação de maneira que somente uma função trigonométrica esteja presente.
1+\cot ^{2} \theta=3 \operatorname{cossec} \theta
1+\cot ^{2} \theta=3 \operatorname{cossec} \theta
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para eu explicar como modificar essa equação de modo que somente uma função trigonométrica apareça. Informações relevantes que já estão na questão: a notação
é a mesma que
, e ambas as funções
e
não estão definidas quando
. Portanto devemos sempre lembrar que
ao manipular a equação.
Passo 2
Vou usar uma identidade trigonométrica padrão que relaciona
e
. A identidade é
Explicando por que isto vale: escrevendo
temos
Aqui usei a identidade pitagórica
e a definição
.
Passo 3
Substituindo a identidade na equação dada obtemos uma forma em que só aparece
:
Pronto — essa já é uma versão da equação com apenas uma função trigonométrica (
) presente.
Passo 4
Se a ideia for ter a equação escrita somente em termos de
(ou seja, em termos da função seno), substituímos
por
. Assim
e a equação vira
Passo 5
Para eliminar os denominadores e obter uma equação com uma única função trigonométrica sem frações, multiplicamos ambos os lados por
. Como observado no Passo 1, isso é legítimo porque
(caso contrário
e
seriam indefinidos). Fazendo a multiplicação:
Agora a equação está escrita usando apenas
.