Explique quando é mais vantagem fazer uma interpolação polinômial, e quando é mais vantajoso fazer uma aproximação polinômial por um conjunto de dados amostrais.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente explicar duas paradas: quando vale mais a pena usar interpolação polinomial (que “casa” exatamente em cada ponto) e quando é melhor fazer uma aproximação polinomial (tipo regressão, quando você tem dados amostrais e talvez ruído). O conteúdo é de análise numérica ou métodos numéricos, e a gente vai precisar entender o que é cada método, como funciona a matemática por trás (erro, modelos, sistema de equações) e as vantagens/desvantagens de cada um.

Passo 2

Interpolação polinomial é quando você pega exatamente Pn(xi)=yi, i=0,1,dots,n pontos Pn(x)=sumi=0^n yi,elli(x), elli(x)=prodsubstackj=0jneq i^nx-xjxi-xj e busca um polinômio f(x)-Pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,(x-x0)cdots(x-xn), de grau ≤ que satisfaça
Formas comuns de construir esse polinômio:
Fórmula de Lagrange:
Sistema linear na base monomial .
A teoria diz também que o erro de interpolação num ponto é
para algum entre os nós. Ou seja, se a função original for super suave e os nós bem escolhidos (ex.: pontos de Chebyshev), rola um erro pequeno.

Passo 3

Já na aproximação polinomial (geralmente por mínimos quadrados), você tem um conjunto de sumi=1^ml(Qn(xi)-yir)^2 dados A^T A,a=A^Ty, , talvez , e quer encontrar o polinômio que minimize
Aqui não encaixamos todos os pontos certinho, a ideia é “baixar” o erro total. Isso leva ao sistema de equações normais
onde é a matriz de Vandermonde (ou matriz de design) e . A vantagem é suavizar ruído e lidar com excesso de dados sem ficar mal-condicionado como na interpolação de grau alto.

Passo 4

Vamos comparar na prática:
Interpolação
– Vantagem: passa exatamente pelos pontos; útil se você confia 100% nos valores e tem poucos nós.
– Desvantagem: para muitos pontos o polinômio de alto grau oscila (fenômeno de Runge) e é super sensível a ruído.
Aproximação (regressão)
– Vantagem: filtra ruído, aceita muito mais pontos, gera um polinômio de grau moderado que “siga” a tendência geral.
– Desvantagem: não passa exatamente em cada ponto; pode exigir escolha cuidadosa do grau pra não “underfit” (muito simples) nem “overfit” (muito complexo).

Resposta

É mais vantagem usar interpolação polinomial quando você tem um número pequeno de pontos certeiros (sem ruído) e precisa que o polinômio passe exatamente por cada um deles. Por outro lado, se você tem um grande conjunto de dados amostrais, possivelmente com ruído, e quer capturar a tendência geral, é preferível uma aproximação polinomial (mínimos quadrados), pois ela suaviza flutuações indesejadas e evita as oscilações fortes do polinômio de grau muito alto.

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