Utilize 1, 2, 4, 8 parábolas para aproximar a integral:
Compare com o valor exato da integral. Faça uma análise do erro.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando 1, 2, 4 e 8 “parábolas” – ou seja, a Regra de Simpson composta com 1, 2, 4 e 8 arcos de parábola.
Conteúdo: cálculo numérico (Regra de Simpson).
O que vamos precisar:
Conteúdo: cálculo numérico (Regra de Simpson).
O que vamos precisar:
- Saber a fórmula da Regra de Simpson (simples e composta).
- Conhecer
. - Avaliar a integral exata para comparar e discutir o erro.
Passo 2
Teoria da Regra de Simpson:
- Em um único intervalo
, com e ponto médio , vale
- Na forma composta, dividimos
em subintervalos, com par, , e . Então
- Erro: a Regra de Simpson é exata para polinômios até grau 3, pois seu termo de erro envolve
; aqui ⇒ , então o método vai dar o valor exato sem erro.
Passo 3
Calculemos primeiro o valor exato da integral:
Passo 4
Aproximação com 1 parábola (ou seja,
,
, pontos
):
Passo 5
Aproximação com 2 parábolas (
,
, pontos
):
Calculando rápido:
,
,
,
,
.
Passo 6
Aproximação com 4 parábolas (
,
) e com 8 parábolas (
,
) seguem o mesmo procedimento. Como
é cúbica, a Regra de Simpson composta dá exatamente
Passo 7
Análise do erro:
Como tem derivada quarta nula (
), o termo de erro da regra de Simpson desaparece. Logo o erro em todas as aproximações é
Como
Resposta
Aproximações com 1, 2, 4 e 8 parábolas: todas iguais a 20.
Valor exato da integral: 20.
Erro em todos os casos: 0.
Valor exato da integral: 20.
Erro em todos os casos: 0.