Utilize 1, 2, 4, 8 parábolas para aproximar a integral:
integral1^3 x^3 d x
Compare com o valor exato da integral. Faça uma análise do erro.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
integral1^3 x^3,dx
usando 1, 2, 4 e 8 “parábolas” – ou seja, a Regra de Simpson composta com 1, 2, 4 e 8 arcos de parábola.
Conteúdo: cálculo numérico (Regra de Simpson).
O que vamos precisar:
  • Saber a fórmula da Regra de Simpson (simples e composta).
  • Conhecer .
  • Avaliar a integral exata para comparar e discutir o erro.

Passo 2

Teoria da Regra de Simpson:
  1. Em um único intervalo integralx0^x2f(x),dx approx h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r] , com integrala^b f(x),dx approx h3l[f(x0)+4sumk ímparf(xk)+2sumk par,,kneq0,nf(xk)+f(xn)r] e ponto médio , vale
  1. Na forma composta, dividimos em subintervalos, com par, , e . Então
í
  1. Erro: a Regra de Simpson é exata para polinômios até grau 3, pois seu termo de erro envolve ; aqui , então o método vai dar o valor exato sem erro.

Passo 3

Calculemos primeiro o valor exato da integral:
integral1^3x^3,dx = [x^44]1^3 = 3^4-1^44 = 81-14 = 804 =20

Passo 4

Aproximação com 1 parábola (ou seja, S1 = h3l[f(1)+4f(2)+f(3)r] = 13l[1^3 + 4cdot2^3 + 3^3r] = 13[1 + 32 + 27] = 603 =20 , , pontos ):

Passo 5

Aproximação com 2 parábolas ( S2 = h3l[f(1)+4f(1.5)+2f(2)+4f(2.5)+f(3)r] , S2 = 0.53l[1 + 4cdot3.375 + 2cdot8 + 4cdot15.625 +27r] = 0.53[1 +13.5 +16 +62.5 +27] = 0.53cdot120 = 603 =20 , pontos ):
Calculando rápido:
, , , , .

Passo 6

Aproximação com 4 parábolas ( S4 = 20, S8 = 20 , ) e com 8 parábolas ( , ) seguem o mesmo procedimento. Como é cúbica, a Regra de Simpson composta dá exatamente

Passo 7

Análise do erro:
Como l|valor exato - Skr| = |20 - 20| = 0 tem derivada quarta nula ( ), o termo de erro da regra de Simpson desaparece. Logo o erro em todas as aproximações é

Resposta

Aproximações com 1, 2, 4 e 8 parábolas: todas iguais a 20.
Valor exato da integral: 20.
Erro em todos os casos: 0.

Exercícios relacionados