Leia atentamente as sentenças (a) e (b) abaixo. A princípio, elas parecem válidas, mas após uma análise mais detalhada você concluirá que elas nem sempre são verdadeiras. Demonstre isto para cada sentença através de um exemplo que negue a sentença.
(a) Se a forma de onda de saída de uma porta OR é igual à forma de onda presente em uma de suas entradas, então, na outra entrada, o nível lógico está permanentemente BAIXO.
(b) Se a forma de onda de saída de uma porta O R está sempre no nível ALTO, então uma de suas entradas está permanentemente no nível ALTO.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e o que podemos usar como dado:
O enunciado apresenta duas sentenças a serem analisadas e pede que se demonstre que cada uma nem sempre é verdadeira, ou seja, que existem contraexemplos.
Sentença (a): “Se a forma de onda de saída de uma porta OR é igual à forma de onda presente em uma de suas entradas, então, na outra entrada, o nível lógico está permanentemente BAIXO.”
Sentença (b): “Se a forma de onda de saída de uma porta \text{OR} está sempre no nível ALTO, então uma de suas entradas está permanentemente no nível ALTO.”
O objetivo: para cada sentença fornecer um exemplo concreto (um par de sinais nas entradas) que contradiz a sentença, mostrando passo a passo por que a sentença falha nesse exemplo.
Passo 2
Relembrando a operação lógica da porta OR e a notação que vou usar (aula rápida, com calma).
Denoto as entradas por A(t) e B(t), funções do tempo que valem 0 (baixo) ou 1 (alto). A saída é Z(t).
A definição da porta OR é:
Z(t)=A(t)\lor B(t),
o que significa, no nível de valor em um instante t, que Z(t)=1 se pelo menos uma das entradas vale 1; caso ambas valham 0, então Z(t)=0.
“A forma de onda de saída igual à de uma entrada” significa aqui que, para todo t, vale
Z(t)=A(t)
ou
Z(t)=B(t)
(concretamente, igualdade ponto a ponto no tempo).
“Permanentemente BAIXO” significa que a função correspondente vale 0 para todo t. “Permanentemente ALTO” significa que vale 1 para todo t.
Passo 3
Contraexemplo para (a). Ideia e construção simples: mostrar que é possível ter [Z(t)=A(t)) para todo t sem que B(t) seja permanentemente 0.
Escolho sinais periódicos discretos (suficiente para o contraexemplo). Defino, para todo t inteiro (ou em instantes amostrados),
Ou seja, A\] é uma onda quadrada 0/1 alternada e \(B é exatamente igual a A.
Calculo a saída da OR:
Z(t)=A(t)\lor B(t)=A(t)\lor A(t)=A(t).
Portanto a forma de onda de saída é igual à forma de onda presente em A (atende a hipótese da sentença). Mas B não está permanentemente BAIXO: para instantes ímpares vale B(t)=1. Assim temos um contraexemplo: a hipótese (saída igual a uma entrada) é satisfeita e, ainda assim, a outra entrada não é sempre 0. Logo a sentença (a) é falsa.
Comentário didático rápido: algebricamente, A\lor B = A implica (\neg A)\Rightarrow(\neg B) ou, mais usualmente, que sempre que B=1 temos A=1. Isso só proíbe B ser 1 quando A=0, mas não impede B de ser 1 nos instantes em que A=1. Portanto nada força B a ser sempre 0.]
Passo 4
Contraexemplo para (b). Ideia: construir [A(t)) e B(t) alternados de forma que em cada instante pelo menos uma entrada seja 1, de modo que Z(t)=1 para todo t, mas nenhuma das entradas seja permanentemente 1.
Ou seja, A\] está em \(1 nos instantes pares e B está em 1 nos instantes ímpares; eles nunca ficam ambos 0 ao mesmo tempo, mas também nenhum dos dois fica sempre 1.
Calculo a saída:
Se t é par: A(t)=1 e B(t)=0, logo Z(t)=1\lor0=1.
Se t é ímpar: A(t)=0 e B(t)=1, logo Z(t)=0\lor1=1.
Assim, para todo t vale Z(t)=1. Logo a hipótese “saída sempre ALTA” é satisfeita. No entanto, A não é permanentemente 1 (porque em instantes ímpares vale 0) e B não é permanentemente 1 (porque em instantes pares vale 0). Portanto nenhuma entrada é permanentemente ALTA, e a sentença (b) é falsa.
Comentário didático rápido: a condição A(t)\lor B(t)=1 para todo t apenas garante que para cada instante t pelo menos uma entrada vale 1; isto não implica que exista uma entrada que valha 1 para todos os instantes. Isso é uma diferença entre “para todo t existe uma entrada com valor 1” e “existe uma entrada que para todo t vale 1”.]
Passo 5
Resumo e lição prática para prova (do jeito amigo e direto):
Nenhuma das sentenças é válida em geral; ambas são falsas.
Para (a) basta lembrar que A\lor B=A não exige B\equiv0, apenas exige que B só possa ser 1 quando A também for 1. Um contraexemplo trivial é tomar B igual a A.
Para (b) lembrar que A\lor B\equiv1 significa “em cada instante pelo menos uma entrada é 1”, não significa que a mesma entrada seja 1 o tempo todo. Um contraexemplo trivial é alternar A e B (um tem 1 quando o outro tem 0).
Resposta
(a) FALSO. Contraexemplo: A(t)=B(t) com A(t) alternando 0,1,0,1,\dots. Então Z(t)=A(t)\lor B(t)=A(t) e, ainda assim, B não é permanentemente 0.
(b) FALSO. Contraexemplo: A(t)=1 em instantes pares e 0 em ímpares, B(t)=0 em pares e 1 em ímpares. Então Z(t)=A(t)\lor B(t)=1 para todo t, mas nem A nem B são permanentemente 1.