Faça a estimativa da distância percorrida e da aceleração (no instante
e
s) das seguintes partículas, cujas velocidades são fornecidas nas tabelas a seguir. Utilize as regras do trapézio (para integração numérica) e aproximações com segunda ordem de acurácia (para a diferenciação).
Partícula A
Instante
0
10
20
30
40
50
60
70
Velocidade
0
5
8
12
17
23
30
38
Partícula B
Instante [s]
0
10
20
30
40
50
60
70
Velocidade
0
10
20
10
5
0
-5
0
Partícula C
Instante [s]
0
10
20
30
40
50
60
70
Velocidade
0
5
9
11
7
-1
-3
0
Instante
|
0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
Velocidade
|
0 | 5 | 8 | 12 | 17 | 23 | 30 | 38 |
Instante [s] | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
Velocidade
|
0 | 10 | 20 | 10 | 5 | 0 | -5 | 0 |
Instante [s] | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
Velocidade
|
0 | 5 | 9 | 11 | 7 | -1 | -3 | 0 |
Passo 1
A gente tem três partículas cujas velocidades nos instantes de 0 a 70 s estão tabuladas de 10 s em 10 s. O objetivo é estimar a distância percorrida de t=0 a t=70 s via integração numérica (regra do trapézio) e calcular a aceleração nos instantes t=0 s e t=30 s usando aproximações de segunda ordem por diferenças finitas. O passo de tempo é h=10 s.
Passo 2
Para estimar a distância percorrida usamos a regra do trapézio. Em cada subintervalo de duração h aplicamos
Somamos estas áreas de i=0 até i=6 para cada partícula. Aplicando aos dados: Partícula A: 25+65+100+145+200+265+340=1140 m; Partícula B: 50+150+150+75+25−25−25=400 m; Partícula C: 25+70+100+90+30−20−15=280 m.
Passo 3
Para estimar a aceleração em t=0 s usamos o esquema forward de segunda ordem:
Com h=10 s, v_0,v_1,v_2 de cada partícula: Partícula A: a(0)=(−3·0+4·5−8)/(2·10)=12/20=0,6 m/s²; Partícula B: (−3·0+4·10−20)/20=20/20=1,0 m/s²; Partícula C: (−3·0+4·5−9)/20=11/20=0,55 m/s².
Passo 4
Para estimar a aceleração em t=30 s (ponto interno) usamos o esquema central de segunda ordem:
Com h=10 s e os valores de v em 20 s e 40 s: Partícula A: (17−8)/20=9/20=0,45 m/s²; Partícula B: (5−20)/20=−0,75 m/s²; Partícula C: (7−9)/20=−0,1 m/s².
Resposta
Partícula A: distância ≈ 1140 m, a(0) ≈ 0,60 m/s², a(30) ≈ 0,45 m/s²
Partícula B: distância ≈ 400 m, a(0) ≈ 1,00 m/s², a(30) ≈ −0,75 m/s²
Partícula C: distância ≈ 280 m, a(0) ≈ 0,55 m/s², a(30) ≈ −0,10 m/s²
Partícula B: distância ≈ 400 m, a(0) ≈ 1,00 m/s², a(30) ≈ −0,75 m/s²
Partícula C: distância ≈ 280 m, a(0) ≈ 0,55 m/s², a(30) ≈ −0,10 m/s²