Provar que a diferença dividida é o único funcional linear da forma
que satisfaz
Passo 1
Temos n+1 nós distintos x₀,…,xₙ e um funcional linear da forma
Queremos provar que o único funcional desse tipo que satisfaz
é o operador de diferença dividida f↦[x₀,…,xₙ]f. Vamos usar a teoria de espaços de polinômios de dimensão n+1 e interpolação de Newton.
Passo 2
Existência: o próprio operador de diferença dividida satisfaz essas condições. De fato, pelas propriedades recursivas das diferenças divididas, para o monômio x^j com j<n temos
e para j=n
Logo, [x₀,…,xₙ]f é um funcional da forma desejada que anula x^j (j<n) e envia x^n em 1.
Passo 3
Unicidade em polinômios: o espaço Pₙ de polinômios de grau ≤n tem dimensão n+1 e base {1,x,…,x^n}. Um funcional linear em Pₙ é determinado pelos valores nessa base. Qualquer funcional D com D(x^j)=0 (j<n) e D(x^n)=1 coincide com [x₀,…,xₙ] ao avaliar qualquer p∈Pₙ.
Passo 4
Extensão a funções gerais: dado f qualquer, seja p∈Pₙ o polinômio interpolador em (x_k,f(x_k)). Então (f–p)(x_k)=0 e
Pela linearidade segue
Passo 5
Concluímos que qualquer funcional D satisfazendo as condições coincide com o operador de diferença dividida em todas as funções, e portanto este é único.
Resposta
D(f) = [x_0,\dots,x_n]f