Provar que a diferença dividida é o único funcional linear da forma
D(f)=sumk=0^n Ak f(xk)
que satisfaz
D(x^n)=1 e D(x^k)=0, k=0, ldots, n-1

Passo 1

Temos n+1 nós distintos x₀,…,xₙ e um funcional linear da forma
D(f)=sumk=0^n Ak,f(xk)
Queremos provar que o único funcional desse tipo que satisfaz
D(x^j)=0(j=0,dots,n-1), D(x^n)=1
é o operador de diferença dividida f↦[x₀,…,xₙ]f. Vamos usar a teoria de espaços de polinômios de dimensão n+1 e interpolação de Newton.

Passo 2

Existência: o próprio operador de diferença dividida satisfaz essas condições. De fato, pelas propriedades recursivas das diferenças divididas, para o monômio x^j com j<n temos
[x0,dots,xn],x^j=0
e para j=n
[x0,dots,xn],x^n=1
Logo, [x₀,…,xₙ]f é um funcional da forma desejada que anula x^j (j<n) e envia x^n em 1.

Passo 3

Unicidade em polinômios: o espaço Pₙ de polinômios de grau ≤n tem dimensão n+1 e base {1,x,…,x^n}. Um funcional linear em Pₙ é determinado pelos valores nessa base. Qualquer funcional D com D(x^j)=0 (j<n) e D(x^n)=1 coincide com [x₀,…,xₙ] ao avaliar qualquer p∈Pₙ.

Passo 4

Extensão a funções gerais: dado f qualquer, seja p∈Pₙ o polinômio interpolador em (x_k,f(x_k)). Então (f–p)(x_k)=0 e
D(f-p)=sumk=0^n Ak,(f-p)(xk)=0
Pela linearidade segue
D(f)=D(p)=[x0,dots,xn]p=[x0,dots,xn]f

Passo 5

Concluímos que qualquer funcional D satisfazendo as condições coincide com o operador de diferença dividida em todas as funções, e portanto este é único.

Resposta

D(f) = [x_0,\dots,x_n]f

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