Sejam
, para todo
, e
. Provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar uma identidade envolvendo o polinômio
e a soma
Usaremos decomposição em frações parciais de uma função racional e o fato de que a soma de todos os resíduos (incluindo o infinito) é zero. Esta técnica é comum em análise de funções racionais e polinomiais.
Passo 2
Para começar, note que
$$f(1/x)=\prod_{i=1}n\bigl(\tfrac1x-x_i\bigr)=x{-n}\prod_{i=1}^n(1 - x_i x).
$$
Multiplicando por
, definimos a função polinomial
$$g(x)=x^n f(1/x)=\prod_{i=1}^n(1 - x_i x).
$$
Isso troca as raízes
por coeficientes nos termos de
.
Passo 3
Definimos então a função racional
$$R(x)=\frac{g(x)}{(x+1)f(x)}=\frac{x^n f(1/x)}{(x+1)\prod_{i=1}^n(x-x_i)}.
$$
Os polos simples de
são em
e
para
. Faremos a decomposição
$$R(x)=\frac{A}{x+1}+\sum_{k=1}^n\frac{B_k}{x-x_k}.
$$
Passo 4
Em cada polo
, o resíduo é
que coincide exatamente com cada termo da soma
.
Passo 5
No polo
, o resíduo é
Passo 6
Por fim, analisamos o comportamento de
em
. Como
$$g(x)=\prod_{i=1}^n(1 - x_i x)=(-1)n\Bigl(\prod_{i=1}n x_i\Bigr)x^n+\cdots,
$$
tenhamos
$$R(x)\sim \frac{(-1)^n(\prod x_i)xn}{x{n+1}}=\frac{(-1)^n\prod x_i}{x}.
$$
Logo o resíduo no infinito é
$$Res\infty®=-\bigl(coeficiente dex{-1}\bigr)=-(-1)n\prod{i=1}^n x_i=(-1){n+1}\prod_{i=1}n x_i.
$$
Passo 7
Sabendo que a soma de todos os resíduos (finito mais o do infinito) é zero, temos
$$A+\sum_{k=1}^n B_k+Res_\infty®=0.
$$
Substituindo
e
, obtemos
$$\sum_{k=1}^n B_k=-A-Res_\infty®= -(-1)n-(-1){n+1}\prod x_i =(-1){n+1}(1-\prod_{i=1}n x_i).
$$
Mas
, e chegamos ao que queríamos.
Passo 8
Resposta
(-1)^{n+1}\bigl(1 - x_1 x_2 \cdots x_n\bigr)