Sejam xk neq 0,1, para todo k=1, ldots, n, e f(x)=(x- sumk=1^n xk^n f(1 / xk)(1+xk) f^prime(xk)=(-1)^n+1(1-x1 x2 cdots xn) . Provar que

Passo 1

O enunciado pede para provar uma identidade envolvendo o polinômio f(x)=(x-x1)cdots(x-xn) e a soma
S=sumk=1^n xk^nf(1/xk)(1+xk)f'(xk)
Usaremos decomposição em frações parciais de uma função racional e o fato de que a soma de todos os resíduos (incluindo o infinito) é zero. Esta técnica é comum em análise de funções racionais e polinomiais.

Passo 2

Para começar, note que
$$f(1/x)=\prod_{i=1}n\bigl(\tfrac1x-x_i\bigr)=x{-n}\prod_{i=1}^n(1 - x_i x).
$$
Multiplicando por f(1/x)=prodi=1^nl(tfrac1x-xir)=x^-nprodi=1^n(1 - xi x) , definimos a função polinomial
$$g(x)=x^n f(1/x)=\prod_{i=1}^n(1 - x_i x).
$$
Isso troca as raízes x^n por coeficientes nos termos de g(x)=x^n f(1/x)=prodi=1^n(1 - xi x) .

Passo 3

Definimos então a função racional
$$R(x)=\frac{g(x)}{(x+1)f(x)}=\frac{x^n f(1/x)}{(x+1)\prod_{i=1}^n(x-x_i)}.
$$
Os polos simples de R(x)=g(x)(x+1)f(x)=x^n f(1/x)(x+1)prodi=1^n(x-xi) são em R(x) e x=-1 para x=xk. Faremos a decomposição
$$R(x)=\frac{A}{x+1}+\sum_{k=1}^n\frac{B_k}{x-x_k}.
$$

Passo 4

Em cada polo x=xk, o resíduo é
Bk=limxto xk(x-xk)R(x) =xk^n f(1/xk)(xk+1)f'(xk)
que coincide exatamente com cada termo da soma S.

Passo 5

No polo x=-1, o resíduo é
A=limxto -1(x+1)R(x) =(-1)^nprodi=1^n(1+xi)prodi=1^n(-1-xi) =(-1)^nprodi=1^n(1+xi)(-1)^nprodi=1^n(1+xi) =(-1)^n

Passo 6

Por fim, analisamos o comportamento de R(x) em xtoinfty. Como
$$g(x)=\prod_{i=1}^n(1 - x_i x)=(-1)n\Bigl(\prod_{i=1}n x_i\Bigr)x^n+\cdots,
$$
tenhamos
$$R(x)\sim \frac{(-1)^n(\prod x_i)xn}{x{n+1}}=\frac{(-1)^n\prod x_i}{x}.
$$
Logo o resíduo no infinito é
$$Res\infty®=-\bigl(coeficiente dex{-1}\bigr)=-(-1)n\prod{i=1}^n x_i=(-1){n+1}\prod_{i=1}n x_i.
$$

Passo 7

Sabendo que a soma de todos os resíduos (finito mais o do infinito) é zero, temos
$$A+\sum_{k=1}^n B_k+Res_\infty®=0.
$$
Substituindo A+sumk=1^n Bk+Resinfty(R)=0 e A=(-1)^n, obtemos
$$\sum_{k=1}^n B_k=-A-Res_\infty®= -(-1)n-(-1){n+1}\prod x_i =(-1){n+1}(1-\prod_{i=1}n x_i).
$$
Mas Resinfty(R)=(-1)^n+1prod xi, e chegamos ao que queríamos.

Passo 8

Resposta

(-1)^{n+1}\bigl(1 - x_1 x_2 \cdots x_n\bigr)

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