Sejam
números inteiros arbitrários mas distintos. Provar que, se
é um polinômio de grau
com coeficiente 1 de
(isto é,
é mônico), então existe um número
, para o qual
Passo 1
O enunciado diz que temos n+1 inteiros distintos x₀,…,xₙ e um polinômio monico P de grau n, e queremos provar que existe um desses pontos onde |P(xⱼ)| ≥ n!/2ⁿ. Vamos usar interpolação de Lagrange e uma estimativa para o produto das diferenças.
Passo 2
Pela fórmula de Lagrange, qualquer polinômio P de grau ≤ n satisfaz
sendo
O coeficiente de xⁿ em
é
Como P é monico, o coeficiente de xⁿ em P é 1, logo
Passo 3
pela soma dos coeficientes de xⁿ nos termos acima temos
Passo 4
Aplicando a desigualdade triangular em valor absoluto:
Logo
e, por contagem de pombos, existe um índice j tal que
isto é
Passo 5
Agora precisamos dar um limite inferior para |A_j|. Ordenando os pontos em crescente y₀<y₁<…<yₙ, considere j=0. Então
Como os y_k são inteiros distintos, as diferenças positivas y_k–y₀ são pelo menos 1,2,…,n em alguma ordem. Portanto
Isto implica que o máximo dos |A_j| é pelo menos n!.
Passo 6
Concluímos que existe j com
Isso prova o enunciado.
Passo 7
Resposta final no ponto j escolhido acima satisfaz |P(x_j)| ≥ n!/2ⁿ.
Resposta
Existe pelo menos um j tal que |P(x_j)| ≥ n!/2^n.