Sejam P(x) números inteiros arbitrários mas distintos. Provar que, se n é um polinômio de grau x^n com coeficiente 1 de P(x) (isto é, xj, 0 <= j <= n é mônico), então existe um número |P(xj)| >= n!2^n , para o qual

Passo 1

O enunciado diz que temos n+1 inteiros distintos x₀,…,xₙ e um polinômio monico P de grau n, e queremos provar que existe um desses pontos onde |P(xⱼ)| ≥ n!/2ⁿ. Vamos usar interpolação de Lagrange e uma estimativa para o produto das diferenças.

Passo 2

Pela fórmula de Lagrange, qualquer polinômio P de grau ≤ n satisfaz
P(x)=sumk=0^nP(xk),ellk(x),
sendo
ellk(x)=prodsubstack0<= j<= njne kx-xjxk-xj
O coeficiente de xⁿ em ellk(x) é
1Ak, Ak=prodjne k(xk-xj)
Como P é monico, o coeficiente de xⁿ em P é 1, logo

Passo 3

pela soma dos coeficientes de xⁿ nos termos acima temos
1=sumk=0^nP(xk)Ak

Passo 4

Aplicando a desigualdade triangular em valor absoluto:
1=l|sumk=0^nP(xk)Akr|<=sumk=0^n|P(xk)||Ak|
Logo
sumk=0^n|P(xk)||Ak|>=1,
e, por contagem de pombos, existe um índice j tal que
|P(xj)||Aj|>=1n+1,
isto é
|P(xj)|>=|Aj|n+1

Passo 5

Agora precisamos dar um limite inferior para |A_j|. Ordenando os pontos em crescente y₀<y₁<…<yₙ, considere j=0. Então
A0=prodk=1^n(yk-y0)
Como os y_k são inteiros distintos, as diferenças positivas y_k–y₀ são pelo menos 1,2,…,n em alguma ordem. Portanto
|A0|>=1cdot2cdots n=n!
Isto implica que o máximo dos |A_j| é pelo menos n!.

Passo 6

Concluímos que existe j com
|P(xj)|>=|Aj|n+1>=n!n+1> racn!2^n
Isso prova o enunciado.

Passo 7

Resposta final no ponto j escolhido acima satisfaz |P(x_j)| ≥ n!/2ⁿ.

Resposta

Existe pelo menos um j tal que |P(x_j)| ≥ n!/2^n.

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