Sejam
,
Provar que, para todo índice
, existem números positivos
, tais que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a diferença dividida de ordem 2 em três nós distantes, f[x₀,x_k,x_n], pode ser escrita como combinação convexa (pesos positivos que somam 1) de todas as diferenças divididas de ordem 2 em nós consecutivos f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]. Vamos usar propriedades clássicas de diferenças divididas e decomposição em somas telescópicas.
Passo 2
Começamos lembrando que a diferença dividida de ordem 2 se escreve como
Além disso, para qualquer par de nós p<q vale
Passo 3
Logo expandimos f[x₀,x_k] e f[x_k,x_n]:
Passo 4
Substituindo em f[x₀,x_k,x_n] obtemos
onde
Passo 5
Note que
. Em seguida eliminamos recursivamente cada termo de primeira ordem usando
Passo 6
para i=0,…,n-2. O efeito telescópico apaga todas as f[x_{i},x_{i+1}] e deixa apenas termos f[x_{i},x_{i+1},x_{i+2}] com coeficientes
Passo 7
Bastam então cálculos diretos do somatório
em três casos (i<k-1, i=k-1 e i\ge k) para obter fórmulas explícitas para cada A_i, todas positivas e somando 1.
Resposta
Os pesos A_i que funcionam são dados por
Para 0\le i\le k-2:
Para i=k-1:
Para k\le i\le n-2:
Vale então
e cada A_i>0 com
, conforme pedido.