Faça um programa utilizando 2,4,8,16,32 e 64 trapézios para aproximar a integral:
integral1^3 17-2 x d x
Compare com o valor exato da integral. Faça também uma análise do erro.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra aproximar
integral1^3 17-2x,dx
usando a regra do trapézio com subintervalos. Depois a gente compara esses valores com o resultado exato da integral e faz uma análise de erro.
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio), integração analítica básica (logaritmo), e estimativa de erro. Vamos precisar da fórmula do trapézio, saber derivar para o erro, e conhecer .

Passo 2

Antes de tudo, acha o valor exato da integral. A integral de integral 17-2x,dx = integral -(1/2)d(7-2x)7-2x = -tfrac12ln|7-2x| + C é
integral1^317-2x,dx = -tfrac12l[ln|7-2x|r]1^3 = -tfrac12l(ln|7-6|-ln|7-2|r) = -tfrac12(0-ln5) = tfrac12ln5 approx 0,8047189562
Então

Passo 3

Agora a regra do trapézio. Se a gente quer
integrala^b f(x),dx
com h = b-an trapézios, cada um tem largura
Tn = h2l(f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+cdots+2f(xn-1)+f(xn)r),
A aproximação
En = integrala^b f(x),dx - Tn com |En|<= (b-a)^312,n^2maxxin[a,b]|f''(x)|
onde f''(x)=8(7-2x)^3, .
O erro do trapézio satisfaz
Aqui , então
e no intervalo o máximo de ocorre em , dando .

Passo 4

Vamos aplicar para cada . Em todos os casos , e . Vou resumir os resultados numéricos (arredondados em 6 casas decimais):
  • n=2:
  • n=4:
  • n=8:
  • n=16:
  • n=32:
  • n=64:
Para ver o erro real, subtraímos o valor exato . Dá:
  • erro :
  • erro :
  • erro :
  • erro :
  • erro :
  • erro :

Passo 5

Analisando o erro:
  1. A ordem do erro é |En|<= (b-a)^312,n^2,8 =8cdot812,n^2 =6412,n^2 =163,n^2 . Se você dobrar , o erro cai em cerca de 4 vezes.
  2. O bound teórico era Por exemplo, para isso dá , que realmente é maior que o erro real .
  3. Conforme a gente aumenta , a aproximação fica cada vez mais próxima de .

Resposta

A integral exata é .
As aproximações pelo trapézio são:
Os erros caem como , caindo de 0{,}1286 (n=2) para 0{,}00022 (n=64).

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