Faça um programa utilizando
e 64 trapézios para aproximar a integral:
Compare com o valor exato da integral. Faça também uma análise do erro.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra aproximar
usando a regra do trapézio com
subintervalos. Depois a gente compara esses valores com o resultado exato da integral e faz uma análise de erro.
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio), integração analítica básica (logaritmo), e estimativa de erro. Vamos precisar da fórmula do trapézio, saber derivar para o erro, e conhecer
.
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio), integração analítica básica (logaritmo), e estimativa de erro. Vamos precisar da fórmula do trapézio, saber derivar
Passo 2
Antes de tudo, acha o valor exato da integral. A integral de
é
Então
Passo 3
Agora a regra do trapézio. Se a gente quer
com
trapézios, cada um tem largura
A aproximação
onde
.
O erro do trapézio satisfaz
O erro do trapézio satisfaz
Aqui
, então
e no intervalo
o máximo de
ocorre em
, dando
.
Passo 4
Vamos aplicar
para cada
. Em todos os casos
,
e
. Vou resumir os resultados numéricos (arredondados em 6 casas decimais):
- n=2:
- n=4:
- n=8:
- n=16:
- n=32:
- n=64:
Para ver o erro real, subtraímos o valor exato
. Dá:
- erro
: - erro
: - erro
: - erro
: - erro
: - erro
:
Passo 5
Analisando o erro:
- A ordem do erro é
. Se você dobrar , o erro cai em cerca de 4 vezes. - O bound teórico era
Por exemplo, para isso dá , que realmente é maior que o erro real . - Conforme a gente aumenta
, a aproximação fica cada vez mais próxima de .
Resposta
A integral exata é
.
As aproximações pelo trapézio são:
As aproximações pelo trapézio são:
Os erros caem como
, caindo de 0{,}1286 (n=2) para 0{,}00022 (n=64).