Utilize 2,4,8 e 16 trapézios para aproximar a integral:
integral1^3 d x14-4 x
Compare com o valor exato da integral em cada aproximação. O que acontece com o erro??

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente aproximar
integral1^3 dx14-4x
usando a regra do trapézio com Tn = h2l(f(x0)+2sumi=1^n-1f(xi)+f(xn)r) subdivisões, comparar cada aproximação com o valor exato e ver o que rola com o erro.
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio) e cálculo de integral exata. Vamos precisar da fórmula do trapézio
onde e , além da antiderivada de .

Passo 2

Primeiro, valor exato da integral. A antiderivada de
114-4x
é
integral dx14-4x = -14,lnl|14-4xr| + C
Então, de I = [-tfrac14ln|14-4x|]1^3 = -tfrac14l(ln|14-12| - ln|14-4|r) = -tfrac14(ln2 - ln10) = tfrac14ln5 a I = ln54approx0,4023595 :
Numericamente,

Passo 3

Vamos à regra do trapézio com T2 = 12l(f(1)+2f(2)+f(3)r) = tfrac12(0,1+2cdot0,166667+0,5) approx0,466667 .
  • , , .
  • Nós temos os pontos , , .
  • Calcula :
    , , .
  • Aplica
Erro:

Passo 4

Agora T4 = 0,52l(0,1+2(0,125+0,166667+0,25)+0,5r) approx0,4208333 .
  • .
  • Pontos: .
  • Valores:
    , , ,
    , .
  • Soma no trapézio:
Erro:

Passo 5

Com T8 = 0,252l(f0+2sumi=1^7fi+f8r) approx0,407242 , .
Pontos de a de 0,25 em 0,25 e em cada um:
0{,}1; 0{,}11111; 0{,}125; 0{,}142857; 0{,}166667; 0{,}2; 0{,}25; 0{,}33333; 0{,}5.
Aplicando
Erro:

Passo 6

Com T16approx0,403601 , . Calculando em 17 pontos, obtemos
Erro:

Passo 7

Comparando as quatro aproximações e os erros, notamos que toda vez que dobramos (metade de ) o erro cai em cerca de 4 vezes. Isso é típico da regra do trapézio, que tem erro de ordem .

Resposta

Aproximações e erros:
  • , erro
  • , erro
  • , erro
  • , erro
O erro diminui conforme : dobrar os trapézios faz o erro cair em cerca de 4 vezes.

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