Fazendo uso de Taylor desenvolva:
\sqrt{9,5}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt{9,5} usando a série de Taylor. O conteúdo é expansão em série de Taylor para a função
f(x)=\sqrt{x}
em torno de um ponto próximo de 9,5. Vamos escolher x_0=9 e escrever x=9+h, com h=0,5.

Passo 2

A fórmula de Taylor centrada em x_0 até terceira ordem é
f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)\,h+\frac{f''(x_0)}{2!}\,h^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}\,h^3+\cdots.
Aqui precisamos de f^{(k)}(x) em x_0=9.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f(x)=x^{1/2}:
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2},\quad f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2},\quad f'''(x)=\frac{3}{8}x^{-5/2}.
Em x_0=9 temos
f(9)=3,\quad f'(9)=\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{6},\quad f''(9)=-\frac{1}{4\cdot 9^{3/2}}=-\frac{1}{4\cdot27}=-\frac{1}{108},\quad f'''(9)=\frac{3}{8\cdot9^{5/2}}=\frac{3}{8\cdot243}=\frac{3}{1944}=\frac{1}{648}.

Passo 4

Agora aplicamos h=0,5 na série até a terceira ordem:
\sqrt{9{,}5} \approx 3 +\frac{1}{6}\,h +\frac{-1/108}{2}\,h^2 +\frac{1/648}{6}\,h^3.
Substituindo h=0,5:
3 +\frac{1}{6}\cdot0,5 -\frac{1}{216}\cdot(0,5)^2 +\frac{1}{3888}\cdot(0,5)^3.

Passo 5

Calculando termo a termo:
\frac{1}{6}\cdot0,5=\frac{0,5}{6}\approx0,083333, \quad -\frac{1}{216}\cdot0,25\approx-0,001157, \quad \frac{1}{3888}\cdot0,125\approx0,000032.
Somando tudo:
\sqrt{9{,}5}\approx 3 + 0,083333 - 0,001157 + 0,000032 = 3,082208.

Resposta

\sqrt{9{,}5}\approx 3 + \frac{0,5}{6} - \frac{(0,5)^2}{216} + \frac{(0,5)^3}{3888}\approx 3,082208.

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