Fazendo uso de Taylor desenvolva:
\sqrt[3]{30}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver \sqrt[3]{30} usando a série de Taylor. Vamos considerar a função
f(x)=x^{\tfrac{1}{3}}
e aproximá-la em torno de um ponto x_0 próximo de 30 onde f(x_0) seja fácil de calcular. O mais natural é escolher x_0=27, pois \sqrt[3]{27}=3. Definimos h=30-27=3 e escreveremos o polinômio de Taylor de ordem 2 para f(x_0+h).

Passo 2

Calculamos as derivadas de f:
f'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}},
f''(x)=-\frac{2}{9}\,x^{-\tfrac{5}{3}}.

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x_0 é
f(x_0+h)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,h+\frac{f''(x_0)}{2}\,h^2.

Passo 4

Substituindo x_0=27 e h=3:
f(27)=3,
f'(27)=\frac{1}{3}\,27^{-\tfrac{2}{3}} =\frac{1}{3}\,\bigl(3^3\bigr)^{-\tfrac{2}{3}} =\frac{1}{3}\,3^{-2} =\frac{1}{27},
f''(27)=-\frac{2}{9}\,27^{-\tfrac{5}{3}} =-\frac{2}{9}\,\bigl(3^3\bigr)^{-\tfrac{5}{3}} =-\frac{2}{9}\,3^{-5} =-\frac{2}{2187}.
Logo
f(30)\approx 3+\frac{1}{27}\cdot 3 +\frac{-\tfrac{2}{2187}}{2}\cdot 3^2 =3+\frac{3}{27}-\frac{2}{2187}\cdot\frac{9}{2}.

Passo 5

Calculando numericamente:
\frac{3}{27}=\frac{1}{9}\approx0,111111,
\frac{2}{2187}\cdot\frac{9}{2}=\frac{9}{2187}\approx0,004115.
Portanto
\sqrt[3]{30}\approx 3+0,111111-0,004115 =3,106996\approx3,107.

Resposta

\sqrt[3]{30}\approx3,107 (pela expansão de Taylor de segunda ordem).

Exercícios relacionados