Fazer as representações dos números nas bases solicitadas. * Observação: no processo de multiplicação sucessiva, fazer no máximo 10 cálculos.
Representar (432,42)_{5} na base 7 ;

Passo 1

O enunciado pede para converter o número (432,42)_{5} para a base 7.
Conteúdo: conversão entre bases não decimais.
Estratégia:
  • Converter a parte inteira de base 5 para decimal e depois de decimal para base 7 (divisões sucessivas).
  • Converter a parte fracionária de base 5 para decimal e depois aplicar multiplicações sucessivas por 7 para obter os dígitos em base 7 (limitando em até 10 operações).

Passo 2

Converter a parte inteira 432_{5} para decimal.
432_{5} = 4\cdot5^{2} + 3\cdot5 + 2 = 4\cdot25 + 15 + 2 = 100 +15 +2 = 117.

Passo 3

Agora converter 117_{10} para base 7 por divisões sucessivas:
117 \div 7 = 16\text{ rem }5,
16 \div 7 = 2\text{ rem }2,
2 \div 7 = 0\text{ rem }2.
Lendo os restos de baixo para cima, obtemos
117_{10} = 225_{7}.

Passo 4

Converter a parte fracionária .42_{5} para decimal.
0,42_{5} = \frac{4}{5} + \frac{2}{5^{2}} = \frac{4}{5} + \frac{2}{25} = \frac{20 + 2}{25} = \frac{22}{25}.

Passo 5

Obter dígitos em base 7 por multiplicações sucessivas de \tfrac{22}{25} até aparecer repetição ou até 10 operações:
  1. \tfrac{22}{25}\times7 = \tfrac{154}{25} = 6 + \tfrac{4}{25} ⇒ dígito 6, resto \tfrac{4}{25}.
  2. \tfrac{4}{25}\times7 = \tfrac{28}{25} = 1 + \tfrac{3}{25} ⇒ dígito 1, resto \tfrac{3}{25}.
  3. \tfrac{3}{25}\times7 = \tfrac{21}{25} = 0 + \tfrac{21}{25} ⇒ dígito 0, resto \tfrac{21}{25}.
  4. \tfrac{21}{25}\times7 = \tfrac{147}{25} = 5 + \tfrac{22}{25} ⇒ dígito 5, resto \tfrac{22}{25}.
Voltamos ao resto \tfrac{22}{25}, então aparece ciclo de período 4 com dígitos 6,1,0,5.

Passo 6

Escrever a parte fracionária em base 7 como repetição do bloco 6105.

Resposta

(432,42)_{5} = (225,\overline{6105})_{7}.

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