Fazer as representações dos números nas bases solicitadas. * Observação: no processo de multiplicação sucessiva, fazer no máximo 10 cálculos.
Representar (566,65)_{7} na base 5 ;

Passo 1

O enunciado pede para converter o número (566,65)_{7} para a base 5. Vamos usar conversão da parte inteira por divisões sucessivas e da parte fracionária por multiplicações sucessivas. Também precisamos saber que
– cada dígito em base 7 tem valor posicional 7^k,
– cada dígito em base 5 resulta de multiplicar a parte fracionária por 5 e tomar a parte inteira do produto.

Passo 2

Converter a parte inteira 566_{7} para decimal:
566_{7} = 5\cdot 7^2 + 6\cdot 7^1 + 6\cdot 7^0 = 5\cdot49 + 6\cdot7 + 6 = 245 + 42 + 6 = 293_{10}.

Passo 3

Converter 293_{10} para base 5 por divisões sucessivas:
\begin{aligned} 293 \div 5 &= 58 \quad \text{resto }3,\\\\ 58 \div 5 &= 11 \quad \text{resto }3,\\\\ 11 \div 5 &= 2 \quad \text{resto }1,\\\\ 2 \div 5 &= 0 \quad \text{resto }2. \end{aligned}
Lendo os restos de baixo para cima, obtemos
293_{10} = 2133_{5}.

Passo 4

Converter a parte fracionária 0,65_{7}. Primeiro escrevemos em forma de fração:
0,65_{7} = \frac{6}{7} + \frac{5}{7^2} = \frac{6\cdot7 + 5}{49} = \frac{47}{49}.
Agora aplicamos até 10 multiplicações sucessivas por 5:
\begin{array}{r|c|c} \text{Passo}&\text{Cálculo}&\text{Dígito}_5,\;\text{Novo resto}\\hline 1&\displaystyle\frac{47}{49}\cdot5=\frac{235}{49}=4+\frac{39}{49}&4,\;\frac{39}{49}\\\\ 2&\displaystyle\frac{39}{49}\cdot5=\frac{195}{49}=3+\frac{48}{49}&3,\;\frac{48}{49}\\\\ 3&\displaystyle\frac{48}{49}\cdot5=\frac{240}{49}=4+\frac{44}{49}&4,\;\frac{44}{49}\\\\ 4&\displaystyle\frac{44}{49}\cdot5=\frac{220}{49}=4+\frac{24}{49}&4,\;\frac{24}{49}\\\\ 5&\displaystyle\frac{24}{49}\cdot5=\frac{120}{49}=2+\frac{22}{49}&2,\;\frac{22}{49}\\\\ 6&\displaystyle\frac{22}{49}\cdot5=\frac{110}{49}=2+\frac{12}{49}&2,\;\frac{12}{49}\\\\ 7&\displaystyle\frac{12}{49}\cdot5=\frac{60}{49}=1+\frac{11}{49}&1,\;\frac{11}{49}\\\\ 8&\displaystyle\frac{11}{49}\cdot5=\frac{55}{49}=1+\frac{6}{49}&1,\;\frac{6}{49}\\\\ 9&\displaystyle\frac{6}{49}\cdot5=\frac{30}{49}=0+\frac{30}{49}&0,\;\frac{30}{49}\\\\ 10&\displaystyle\frac{30}{49}\cdot5=\frac{150}{49}=3+\frac{3}{49}&3,\;\frac{3}{49} \end{array}áí
Logo a parte fracionária em base 5, com 10 dígitos, é
0,65_{7} \approx 0,4344221103_{5}.

Resposta

(566,65)_{7} = (2133,4344221103)_{5}.

Exercícios relacionados