pede para achar n de modo que \det A=9 e, em seguida, a soma dos elementos da primeira coluna de A^{-1}. Vamos usar simplificação de logaritmos, cálculo de determinante de uma matriz 3\times3 e a fórmula A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A).
Passo 2
Simplificamos todos os logaritmos: \log_{2}2=1, -\log_{2}\tfrac{1}{2}=-(-1)=1, \log_{3}3^{n}=n, \log_{3}243=\log_{3}3^{5}=5, \log_{5}\tfrac{1}{125}=\log_{5}5^{-3}=-3, -\log_{5}25=-\log_{5}5^{2}=-2.
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A=\begin{pmatrix} n & 1 & 1\\\ n+5 & n & 5\\\\ -5 & -3 & -2 \end{pmatrix}.
Passo 3
Calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det A =n\det\begin{pmatrix}n&5\\\ -3&-2\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}n+5&5\\\ -5&-2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}n+5&n\\\ -5&-3\end{pmatrix}.
\det A=9. Para obter a soma dos elementos da primeira coluna de A^{-1}=\tfrac1{9}\operatorname{adj}(A), basta somar os cofatores da primeira linha de A e dividir por 9. Os cofatores dessa primeira linha são