(ITA-SP) Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} n & \log _{2} 2 & -\log _{2} \frac{1}{2} \\\ n+5 & \log _{3} 3^{n} & \log _{3} 243 \\\\ -5 & \log _{5} \frac{1}{125} & -\log _{5} 25 \end{array}\right]
é igual a 9 , determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz
A=\begin{pmatrix} n & \log_{2}2 & -\log_{2}\frac{1}{2}\\\ n+5 & \log_{3}3^{n} & \log_{3}243\\\\ -5 & \log_{5}\frac{1}{125} & -\log_{5}25 \end{pmatrix}
pede para achar n de modo que \det A=9 e, em seguida, a soma dos elementos da primeira coluna de A^{-1}. Vamos usar simplificação de logaritmos, cálculo de determinante de uma matriz 3\times3 e a fórmula A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A).

Passo 2

Simplificamos todos os logaritmos:
\log_{2}2=1,
-\log_{2}\tfrac{1}{2}=-(-1)=1,
\log_{3}3^{n}=n,
\log_{3}243=\log_{3}3^{5}=5,
\log_{5}\tfrac{1}{125}=\log_{5}5^{-3}=-3,
-\log_{5}25=-\log_{5}5^{2}=-2.
Logo
A=\begin{pmatrix} n & 1 & 1\\\ n+5 & n & 5\\\\ -5 & -3 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det A =n\det\begin{pmatrix}n&5\\\ -3&-2\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}n+5&5\\\ -5&-2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}n+5&n\\\ -5&-3\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}n&5\\\ -3&-2\end{pmatrix}=15-2n,\quad \det\begin{pmatrix}n+5&5\\\ -5&-2\end{pmatrix}=15-2n,\quad \det\begin{pmatrix}n+5&n\\\ -5&-3\end{pmatrix}=2n-15.
Portanto
\det A =n(15-2n)-(15-2n)+(2n-15) =-2n^{2}+19n-30.
Impondo \det A=9
-2n^{2}+19n-30=9 \quad\Longrightarrow\quad 2n^{2}-19n+39=0
com raízes \tfrac{19\pm7}4, ou seja n=\tfrac{26}4=6{,}5 ou n=\tfrac{12}4=3. Como n é natural, escolhemos
n=3.

Passo 4

Agora com n=3, a matriz é
A=\begin{pmatrix} 3&1&1\\\\ 8&3&5\\\\ -5&-3&-2 \end{pmatrix},
\det A=9. Para obter a soma dos elementos da primeira coluna de A^{-1}=\tfrac1{9}\operatorname{adj}(A), basta somar os cofatores da primeira linha de A e dividir por 9. Os cofatores dessa primeira linha são
C_{1,1} =\det\begin{pmatrix}3&5\\\ -3&-2\end{pmatrix}=9, \quad C_{1,2} =-\det\begin{pmatrix}8&5\\\ -5&-2\end{pmatrix}=-9, \quad C_{1,3} =\det\begin{pmatrix}8&3\\\ -5&-3\end{pmatrix}=-9.
A soma é 9+(-9)+(-9)=-9, e dividindo por \det A=9 vem
\sum_{i=1}^{3}(A^{-1})_{i1} =\frac{-9}{9}=-1.

Resposta

n=3
A soma dos elementos da primeira coluna de A^{-1} é -1.

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