Use o método exato de eliminação de Gauss para resolver:
\begin{aligned} & 8 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=8 \\\ & 10 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=16 \\\ & 12 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=16 \end{aligned}
Utilize 2 dígitos de precisão e mostre os cálculos matemáticos. Substitua o resultado nas equações para verificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando o método exato de eliminação de Gauss e apresentar os resultados com duas casas decimais. O conteúdo envolvido é a eliminação de variáveis por operações elementares em linhas de matriz aumentada. Vamos montar a matriz aumentada do sistema e aplicar pivoteamento e eliminação para encontrar (x_{1},x_{2},x_{3}).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 8 & 2 & -2 & 8\\\\ 10 & 2 & 4 & 16\\\\ 12 & 2 & 2 & 16 \end{array} \right]

Passo 3

Eliminamos x_{1} das equações 2 e 3 usando a primeira linha como pivô:
Calculamos os multiplicadores com duas casas decimais:
m_{21}=\frac{10}{8}=1,25,\quad m_{31}=\frac{12}{8}=1,50.
Aplicando
\text{Linha}_2\leftarrow\text{Linha}_2 - m_{21}\,\text{Linha}_1, \quad \text{Linha}_3\leftarrow\text{Linha}_3 - m_{31}\,\text{Linha}_1,
obtemos os novos coeficientes:
\begin{cases} -0,50\,x_{2} + 6,50\,x_{3} = 6,00,\\\\ -1,00\,x_{2} + 5,00\,x_{3} = 4,00. \end{cases}

Passo 4

Agora usamos a segunda linha para eliminar x_{2} da terceira. O pivô é -0,50 na segunda linha, e
m_{32}=\frac{-1,00}{-0,50}=2,00.
Fazendo
\text{Linha}_3\leftarrow\text{Linha}_3 - m_{32}\,\text{Linha}_2
temos para a terceira equação
-8,00\,x_{3} = -8,00,
logo
x_{3}=\frac{-8,00}{-8,00}=1,00.

Passo 5

Voltando à segunda linha (onde -0,50\,x_{2}+6,50\,x_{3}=6,00) e substituindo x_{3}=1,00:
-0,50\,x_{2} +6,50\cdot1,00 =6,00 \quad\Longrightarrow\quad -0,50\,x_{2} =-0,50 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=1,00.
Finalmente, na primeira equação original 8\,x_{1}+2\,x_{2}-2\,x_{3}=8, substituímos x_{2}=1,00 e x_{3}=1,00:
8\,x_{1}+2\cdot1,00 -2\cdot1,00 =8 \quad\Longrightarrow\quad 8\,x_{1}=8,00 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1,00.

Passo 6

Verificação por substituição nas equações originais:
8\cdot1,00 +2\cdot1,00 -2\cdot1,00 =8,00, \quad 10\cdot1,00 +2\cdot1,00 +4\cdot1,00 =16,00, \quad 12\cdot1,00 +2\cdot1,00 +2\cdot1,00 =16,00.
Confere!

Resposta

x_{1}=1,00,\;x_{2}=1,00,\;x_{3}=1,00.

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