Questão 1 Considere a tabela de valores de uma certa funçăo f
x_{i} f\left(x_{i}\right)
0.0 0.0
1.0 2.0
2.0 36.0
a) Encontre o polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos tabelados.
b) Encontre a estimativa para o erro \delta(x) supondo que \max _{0 \leq x \leq 2}\left|f^{\prime \prime \prime}(x)\right|=24.

Passo 1

O enunciado dá três pontos (0,0), (1,2) e (2,36) de uma função desconhecida f e pede:
  1. O polinômio interpolador de Lagrange de grau \le2 que passa por esses pontos.
  2. Uma estimativa do erro \delta(x)=f(x)-P(x), usando a fórmula do resto de Lagrange e sabendo que
\max_{0\le x\le2}\bigl|f'''(x)\bigr| = 24.
Para resolver, vamos:
– Construir as bases de Lagrange L_0(x),L_1(x),L_2(x).
– Somar f(x_i)L_i(x) para obter P(x).
– Aplicar o resto de Lagrange
\delta(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-0)(x-1)(x-2)
e usar a cota dada para \bigl|f^{(3)}(\xi)\bigr|.

Passo 2

Definimos as bases de Lagrange de grau 2:
L_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2},
L_1(x) = \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} = \frac{x(x-2)}{-1} = -x(x-2),
L_2(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{x(x-1)}{2}.

Passo 3

O polinômio P(x) é
P(x) = f(0)\,L_0(x) + f(1)\,L_1(x) + f(2)\,L_2(x).
Como f(0)=0, f(1)=2 e f(2)=36,
P(x) = 0\cdot L_0(x) + 2\bigl[-x(x-2)\bigr] + 36\cdot\frac{x(x-1)}{2}.
Simplificando:
P(x) = -2x(x-2) + 18\,x(x-1).

Passo 4

Agora expandimos P(x):
-2x(x-2) = -2x^2 +4x, \qquad 18\,x(x-1) = 18x^2 -18x.
Somando termos semelhantes:
P(x) = (-2x^2 +4x) + (18x^2 -18x) = 16x^2 -14x.

Passo 5

Para o erro usamos o resto de Lagrange de grau 2:
\delta(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-0)(x-1)(x-2)
para algum \xi\in[0,2]. Com \bigl|f^{(3)}(\xi)\bigr|\le24 e 3! = 6,
\bigl|\delta(x)\bigr| \le \frac{24}{6}\,\bigl|x(x-1)(x-2)\bigr| = 4\,\bigl|x(x-1)(x-2)\bigr|.

Resposta

O polinômio interpolador e a cota de erro são:
(a) P(x) = 16x^2 -14x.
(b) \bigl|\delta(x)\bigr| \le 4\,\bigl|x(x-1)(x-2)\bigr|.

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