Para a função f(x)=e^x-x^2+4, mostre que f possui uma única raiz em (-3,-2).
(a) Use 5 dígitos, para descobri-la pelo Método da Falsa Posição, com precisão dupla epsilon1=epsilon2=10^-1.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função

e que existe só uma raiz em . A tarefa é aproximar essa raiz usando o Método da Falsa Posição (Regula Falsi), mantendo 5 dígitos significativos nas nossas contas e parando quando tanto

quanto
.
Conteúdo: método numérico de localização de raízes (Regula Falsi). Vamos precisar entender a fórmula da falsa posição, calcular e no intervalo inicial, gerar o próximo ponto e testar os critérios de parada.

Passo 2

Teoria por trás do Método da Falsa Posição:
  1. Escolhemos um intervalo c = b - f(b),a-bf(a)-f(b) tal que e tenham sinais opostos (isso garante, pelo Teorema de Bolzano, uma raiz em ).
  2. Em vez de dividir o intervalo no meio, traçamos a reta que liga a e usamos a interseção dessa reta com o eixo .
  3. A fórmula dessa interseção é
  1. Avaliamos . Se mudar de sinal com , a nova raiz está em ; senão, está em .
  2. Repetimos até que e .

Passo 3

Primeira iteração (intervalo inicial f(-3)=e^-3-(-3)^2+4approx0,049787-9+4=-4,95021, )
  1. Calcula-se
f(-2)=e^-2-(-2)^2+4approx0,135335-4+4=0,13534
c1 = -2 ;-; 0,13534;-3 - (-2)-4,95021 - 0,13534 = -2 ;-; 0,13534;-1-5,08555 approx -2,02662
Então c1 = -2,0266 e f(-2,0266)=e^-2.0266-(-2.0266)^2+4approx0,02508 têm sinais opostos.
2. Aplica-se a fórmula:
Arredondando para 5 dígitos:
  1. Avalia :

Passo 4

Segunda iteração (novo intervalo c2 = c1 - f(c1),-3 - c1f(-3)-f(c1) = -2,0266 - 0,02508;-3 +2,0266-4,95021 -0,02508 approx -2,03152 , pois c2 = -2,0315 e f(c2)approx e^-2.0315-(-2.0315)^2+4 approx 0,00442 )
  1. Calcula
  1. Arredonda para 5 dígitos:
  1. Avalia
  1. Testa os critérios:
    e
    .
    Ambos satisfazem, então paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada é
boxed-2,0315

Exercícios relacionados