A função f(x)=-9 x^{3}+8 x^{2}+1,5 x-0,5 é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[-0,5: 0]

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função f(x) = -9 x^{3} + 8 x^{2} + 1{,}5 x - 0{,}5.
  • Intervalo inicial [a,b] = [-0{,}5,\;0].
  • Tolerância \varepsilon = 0{,}002.
    O que se pede: determinar um zero de f dentro do intervalo dado usando o método da posição falsa modificada (FPM) com a tolerância informada.

Passo 2

Explicando o método (jeito prático para a prova, com passos bem claros).
  • Ideia do método da posição falsa: aproximar a raiz por interseção da reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). A fórmula para essa interseção (chamada de x_r) é
x_r=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Regra de atualização (falsa posição clássica): se f(a)\cdot f(x_r)<0 então a raiz está em [a,x_r] e tomamos b:=x_r; se f(b)\cdot f(x_r)<0 então a raiz está em [x_r,b] e tomamos a:=x_r.
  • Motivação para a versão modificada (Illinois): a falsa posição clássica às vezes “prende” um dos extremos (ele não se move), gerando convergência muito lenta. Na modificação usada aqui (Illinois), quando o mesmo extremo permanece fixo em iterações consecutivas, divide-se por 2 o valor da função desse extremo para forçar movimento na fórmula da próxima iteração. Na prática:
    • Guardar qual extremo foi substituído na iteração anterior.
    • Se na iteração atual for substituído o mesmo extremo novamente, então antes de calcular o próximo x_r substituir f(\text{extremo\_fixo}) por \tfrac{1}{2}f(\text{extremo\_fixo}) na fórmula.
  • Critério de parada escolhido para a prova (simples e comum): parar quando |f(x_r)|<\varepsilon. Isso é direto de conferir se o valor da função no candidato à raiz é suficientemente pequeno.

Passo 3

Verificar sinais nos extremos e calcular f em a e b.
  • a=-0{,}5. Calcular f(-0{,}5):
f(-0{,}5)=-9(-0{,}5)^3+8(-0{,}5)^2+1{,}5(-0{,}5)-0{,}5.
Passo a passo:
(-0{,}5)^3=-0{,}125,\quad -9\cdot(-0{,}125)=1{,}125;
(-0{,}5)^2=0{,}25,\quad 8\cdot0{,}25=2;
1{,}5\cdot(-0{,}5)=-0{,}75.
Somando:
f(-0{,}5)=1{,}125+2-0{,}75-0{,}5=1{,}875.
  • b=0. Calcular f(0):
f(0)=-0{,}5.
Conclusão: f(-0{,}5)=1{,}875>0 e f(0)=-0{,}5<0. Há mudança de sinal em [-0{,}5,0], logo existe pelo menos uma raiz neste intervalo (pela continuidade dada).

Passo 4

Calcular x_1 pela fórmula da falsa posição:
x_1=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} =\frac{(-0{,}5)(-0{,}5)-0\cdot(1{,}875)}{-0{,}5-1{,}875}.
Numerador =0{,}25. Denominador =-2{,}375. Logo
x_1=-\frac{0{,}25}{2{,}375}=-\frac{2}{19}\approx-0{,}105263.
Calcular f(x_1) (usei frações para reduzir erro):
f\!\left(-\tfrac{2}{19}\right)\approx-0{,}5587417.
Como |f(x_1)|> \varepsilon e f(-0{,}5)\cdot f(x_1)=1{,}875\cdot(-0{,}5587)<0, a raiz está em [-0{,}5,\;x_1]. Atualiza-se b:=x_1. O extremo que foi substituído nesta iteração foi b (guardamos isso).

Passo 5

Agora a=-0{,}5 com f(a)=1{,}875 e b\approx-0{,}105263 com f(b)\approx-0{,}5587417.
Calcular
x_2=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Substituindo e calculando (passo a passo aritmético),
obtém-se x_2\approx-0{,}195847.
Avaliar f(x_2)
f(x_2)\approx-0{,}4193115.
Novamente |f(x_2)|>\varepsilon e f(a)\cdot f(x_2)<0, logo substitui-se b:=x_2. Note que substituímos o mesmo extremo b em duas iterações consecutivas; segundo a regra do método modificado, antes de calcular o próximo x_r vamos dividir por 2 o valor de f no extremo que permaneceu fixo ( a). Assim para a próxima iteração usamos f(a)_{\text{mod}}=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}875=0{,}9375.

Passo 6

Usando a=-0{,}5 com f(a)_{\text{mod}}=0{,}9375 (valor modificado para forçar movimento), e b\approx-0{,}195847 com f(b)\approx-0{,}4193115, calculamos
x_3\approx-0{,}2898.
Avaliação:
f(x_3)\approx-0{,}043913.
Ainda |f(x_3)|>\varepsilon. Como f(a)\cdot f(x_3)<0 (o sinal real em a é positivo), a raiz está em [a,x_3] e substitui-se b:=x_3. Novamente substituímos b em duas (agora três) iterações seguidas, então aplicamos de novo a modificação: dividimos por 2 o f(a)_{\text{mod}} usado na fórmula anterior. Assim f(a)_{\text{mod}} passa de 0{,}9375 para 0{,}46875 para o próximo cálculo.

Passo 7

Com a=-0{,}5 e f(a)_{\text{mod}}=0{,}46875, e b\approx-0{,}2898 com f(b)\approx-0{,}043913, calculamos
x_4\approx-0{,}3078.
Avaliação:
f(x_4)\approx 0{,}058296.
Agora f(x_4)>0 e f(b)<0, então o sinal muda entre x_4 e b; segundo a regra, substitui-se a:=x_4. Neste passo trocou-se o extremo substituído (agora foi a), portanto não aplicamos divisão por 2 para o próximo f — voltamos a usar os valores reais nas próximas contas.

Passo 8

Agora os extremos são a\approx-0{,}3078 com f(a)\approx0{,}058296 e b\approx-0{,}2898 com f(b)\approx-0{,}043913. Calculando
x_5=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}
obtém-se
x_5\approx-0{,}2976.
Avaliar f(x_5):
f(x_5)\approx-0{,}000655.
Verificação do critério: |f(x_5)|\approx0{,}000655<\varepsilon(=0{,}002). Portanto, atingimos a tolerância pedida e podemos aceitar x_5 como aproximação da raiz.

Passo 9

Resumo do procedimento (como usar na prova):
  • Calcule f nos extremos e verifique mudança de sinal.
  • Aplique a fórmula da posição falsa para obter x_r.
  • Atualize o intervalo conforme o sinal de f(x_r).
  • Se o mesmo extremo permanecer fixo por iterações consecutivas, divida por 2 o valor de f desse extremo para a próxima fórmula (regra Illinois).
  • Pare quando |f(x_r)|<\varepsilon (ou quando outra tolerância desejada for atingida).

Resposta

-0,2976

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