A função
é classificada como uma função contínua. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função
. - Intervalo inicial
. - Tolerância
.
O que se pede: determinar um zero dedentro do intervalo dado usando o método da posição falsa modificada (FPM) com a tolerância informada.
Passo 2
Explicando o método (jeito prático para a prova, com passos bem claros).
- Ideia do método da posição falsa: aproximar a raiz por interseção da reta que passa pelos pontos
e . A fórmula para essa interseção (chamada de ) é
- Regra de atualização (falsa posição clássica): se
então a raiz está em e tomamos ; se então a raiz está em e tomamos . - Motivação para a versão modificada (Illinois): a falsa posição clássica às vezes “prende” um dos extremos (ele não se move), gerando convergência muito lenta. Na modificação usada aqui (Illinois), quando o mesmo extremo permanece fixo em iterações consecutivas, divide-se por
o valor da função desse extremo para forçar movimento na fórmula da próxima iteração. Na prática: - Guardar qual extremo foi substituído na iteração anterior.
- Se na iteração atual for substituído o mesmo extremo novamente, então antes de calcular o próximo
substituir por na fórmula.
- Critério de parada escolhido para a prova (simples e comum): parar quando
. Isso é direto de conferir se o valor da função no candidato à raiz é suficientemente pequeno.
Passo 3
Verificar sinais nos extremos e calcular
em
e
.
-
. Calcular :
Passo a passo:
Somando:
-
. Calcular :
Conclusão:
e
. Há mudança de sinal em
, logo existe pelo menos uma raiz neste intervalo (pela continuidade dada).
Passo 4
Calcular
pela fórmula da falsa posição:
Numerador
. Denominador
. Logo
Calcular
(usei frações para reduzir erro):
Como
e
, a raiz está em
. Atualiza-se
. O extremo que foi substituído nesta iteração foi
(guardamos isso).
Passo 5
Agora
com
e
com
.
Calcular
Calcular
Substituindo e calculando (passo a passo aritmético),
obtém-se .
Avaliar dá
obtém-se
Avaliar
Novamente
e
, logo substitui-se
. Note que substituímos o mesmo extremo
em duas iterações consecutivas; segundo a regra do método modificado, antes de calcular o próximo
vamos dividir por
o valor de
no extremo que permaneceu fixo (
). Assim para a próxima iteração usamos
.
Passo 6
Usando
com
(valor modificado para forçar movimento), e
com
, calculamos
Avaliação:
Ainda
. Como
(o sinal real em
é positivo), a raiz está em
e substitui-se
. Novamente substituímos
em duas (agora três) iterações seguidas, então aplicamos de novo a modificação: dividimos por
o
usado na fórmula anterior. Assim
passa de
para
para o próximo cálculo.
Passo 7
Com
e
, e
com
, calculamos
Avaliação:
Agora
e
, então o sinal muda entre
e
; segundo a regra, substitui-se
. Neste passo trocou-se o extremo substituído (agora foi
), portanto não aplicamos divisão por
para o próximo
— voltamos a usar os valores reais nas próximas contas.
Passo 8
Agora os extremos são
com
e
com
. Calculando
obtém-se
Avaliar
:
Verificação do critério:
. Portanto, atingimos a tolerância pedida e podemos aceitar
como aproximação da raiz.
Passo 9
Resumo do procedimento (como usar na prova):
- Calcule
nos extremos e verifique mudança de sinal. - Aplique a fórmula da posição falsa para obter
. - Atualize o intervalo conforme o sinal de
. - Se o mesmo extremo permanecer fixo por iterações consecutivas, divida por
o valor de desse extremo para a próxima fórmula (regra Illinois). - Pare quando
(ou quando outra tolerância desejada for atingida).