Uma função
real é dita ser periódica com período
se
. Por exemplo,
é um período de sen
pois
. O menor valor de
para o qual
se aplica é denominado período fundamental de
. Por exemplo, o período fundamental de
é
. Qual é o período fundamental de cada uma das seguintes funções?
Passo 1
O enunciado pede o período fundamental da função
. Informações dadas e o que é pedido:
- A função é
. - Queremos o menor
tal que para todo . Esse menor é o período fundamental.
Passo 2
Vamos lembrar um fato básico sobre a função
(isso é importante e fácil de usar na prova):
- A função
tem período fundamental .
Explicando devagar: dizer quetem período significa para todo . Como tem período , precisamos que seja um múltiplo de . O menor com isso é .
Passo 3
Aplique o resultado aos termos da soma:
- Para
(aqui ), o período fundamental é . - Para
(aqui ), o período fundamental é .
Portanto,
tem período fundamental
e
tem período fundamental
. Qualquer múltiplo inteiro desses valores também é período de cada termo.
Passo 4
Encontrar um período comum: um período comum de
e
é qualquer
tal que seja múltiplo de
e também múltiplo de
. Note que todo múltiplo de
é também múltiplo de
. Logo,
é um período comum. Assim,
. Logo
é período de
.
Passo 5
Verificar que não existe período positivo menor que
: o candidato óbvio menor é
(já que
é período de
). Vamos testar
explicitamente:
Comparando com
, vemos que
ou seja, isso exigiria
para todo
, o que é falso. Assim
não é período de
. Para qualquer outro
com
que não seja
, também não haverá repetição para todos os
— uma forma elegante e geral de ver isso é usar a decomposição em exponenciais complexas:
e
trazem componentes de frequências
e
(i.e. termos
e
), e para que o somatório se repita sob
seria necessário que
e
simultaneamente, o que leva ao menor
igual a
. (No nível da prova: verificar
falha já garante que não existe período menor óbvio; e a condição sobre exponenciais dá a conclusão geral.)
Passo 6
Conclusão:
é um período de
e não existe período positivo menor que
que sirva para todos os
. Portanto
é o período fundamental.