Uma função f real é dita ser periódica com período T se f(x +T)=f(x). Por exemplo, 4 \pi é um período de sen x pois \operatorname{sen}(x+4 \pi)=\operatorname{sen} x. O menor valor de T para o qual f(x+ T)=f(x) se aplica é denominado período fundamental de f. Por exemplo, o período fundamental de f(x)=\operatorname{sen} x é T= 2 \pi. Qual é o período fundamental de cada uma das seguintes funções?
f(x)=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede o período fundamental da função f(x)=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 2x. Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 2x.
  • Queremos o menor T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x. Esse menor T é o período fundamental.

Passo 2

Vamos lembrar um fato básico sobre a função \operatorname{sen}(kx) (isso é importante e fácil de usar na prova):
  • A função \operatorname{sen}(kx) tem período fundamental \dfrac{2\pi}{k}.
    Explicando devagar: dizer que \operatorname{sen}(kx) tem período T significa \operatorname{sen}(k(x+T))=\operatorname{sen}(kx) para todo x. Como \operatorname{sen} tem período 2\pi, precisamos que kT seja um múltiplo de 2\pi. O menor T>0 com isso é T=\dfrac{2\pi}{k}.

Passo 3

Aplique o resultado aos termos da soma:
  • Para \operatorname{sen} x (aqui k=1), o período fundamental é \displaystyle \frac{2\pi}{1}=2\pi.
  • Para \operatorname{sen} 2x (aqui k=2), o período fundamental é \displaystyle \frac{2\pi}{2}=\pi.
Portanto, \operatorname{sen} x tem período fundamental 2\pi e \operatorname{sen} 2x tem período fundamental \pi. Qualquer múltiplo inteiro desses valores também é período de cada termo.

Passo 4

Encontrar um período comum: um período comum de \operatorname{sen} x e \operatorname{sen} 2x é qualquer T tal que seja múltiplo de 2\pi e também múltiplo de \pi. Note que todo múltiplo de 2\pi é também múltiplo de \pi. Logo, T=2\pi é um período comum. Assim, f(x+2\pi)=\operatorname{sen}(x+2\pi)+\operatorname{sen}(2x+4\pi)=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 2x=f(x). Logo 2\pi é período de f.

Passo 5

Verificar que não existe período positivo menor que 2\pi: o candidato óbvio menor é T=\pi (já que \pi é período de \operatorname{sen} 2x). Vamos testar T=\pi explicitamente:
f(x+\pi)=\operatorname{sen}(x+\pi)+\operatorname{sen}(2x+2\pi)= -\operatorname{sen} x+\operatorname{sen}2x.
Comparando com f(x)=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen}2x, vemos que
f(x+\pi)=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad -\operatorname{sen} x+\operatorname{sen}2x=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen}2x,
ou seja, isso exigiria \operatorname{sen} x=0 para todo x, o que é falso. Assim T=\pi não é período de f. Para qualquer outro T com 0<T<2\pi que não seja \pi, também não haverá repetição para todos os x — uma forma elegante e geral de ver isso é usar a decomposição em exponenciais complexas: \operatorname{sen} x e \operatorname{sen}2x trazem componentes de frequências 1 e 2 (i.e. termos e^{ix} e e^{i2x}), e para que o somatório se repita sob x\mapsto x+T seria necessário que e^{iT}=1 e e^{i2T}=1 simultaneamente, o que leva ao menor T>0 igual a 2\pi. (No nível da prova: verificar \pi falha já garante que não existe período menor óbvio; e a condição sobre exponenciais dá a conclusão geral.)

Passo 6

Conclusão: 2\pi é um período de f e não existe período positivo menor que 2\pi que sirva para todos os x. Portanto 2\pi é o período fundamental.

Resposta

T=2\pi

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