Questão 03: Seja a \in \mathbb{Z} tal que 2 \mid a e 7 \mid a. Prove que 14 \mid a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a\in\mathbb{Z}.
  • 2 \mid a.
  • 7 \mid a.
O que se pede: provar que 14 \mid a.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa d\mid n. Por definição, d\mid n significa que existe um inteiro k tal que
n = d\cdot k.
Aplicando isso ao nosso problema, das hipóteses existem inteiros k e m tais que
a = 2k \qquad\text{e}\qquad a = 7m.

Passo 3

Observe que \gcd(2,7)=1. Uma explicação rápida: os divisores positivos de 2 são \{1,2\} e os de 7 são \{1,7\}; a única interseção é 1. Outra observação útil (fato padrão): se \gcd(r,s)=1 então existem inteiros u,v tais que
r u + s v = 1
(identidade de Bézout). No caso concreto, por exemplo, 4\cdot 2 + (-1)\cdot 7 = 1.

Passo 4

Vamos provar um lema simples e útil: se \gcd(r,s)=1 e r\mid s t então r\mid t. Prova do lema (usando Bézout): como \gcd(r,s)=1 existem inteiros u,v com
r u + s v = 1.
Multiplicando por t obtemos
t = r u t + s v t.
Pela hipótese r\mid s t sabemos que r divide s v t. Também r divide r u t manifestamente. Então r divide a soma r u t + s v t, isto é, r\mid t. Isso termina a prova do lema.

Passo 5

Voltemos ao problema. Como a=7m e sabemos 2\mid a, segue que 2\mid 7m. Aplicando o lema com r=2, s=7 e t=m, e lembrando que \gcd(2,7)=1, concluímos que 2\mid m. Assim existe um inteiro t tal que
m = 2t.

Passo 6

Substituindo m=2t em a=7m obtemos
a = 7m = 7(2t) = 14t.
Isso mostra que existe um inteiro t com a=14t, ou seja,
14 \mid a.

Resposta

14 \mid a

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