Questão 03: Seja
tal que
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
.
O que se pede: provar que
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
. Por definição,
significa que existe um inteiro
tal que
Aplicando isso ao nosso problema, das hipóteses existem inteiros
e
tais que
Passo 3
Observe que
. Uma explicação rápida: os divisores positivos de
são
e os de
são
; a única interseção é
. Outra observação útil (fato padrão): se
então existem inteiros
tais que
(identidade de Bézout). No caso concreto, por exemplo,
.
Passo 4
Vamos provar um lema simples e útil: se
e
então
. Prova do lema (usando Bézout): como
existem inteiros
com
Multiplicando por
obtemos
Pela hipótese
sabemos que
divide
. Também
divide
manifestamente. Então
divide a soma
, isto é,
. Isso termina a prova do lema.
Passo 5
Voltemos ao problema. Como
e sabemos
, segue que
. Aplicando o lema com
,
e
, e lembrando que
, concluímos que
. Assim existe um inteiro
tal que
Passo 6
Substituindo
em
obtemos
Isso mostra que existe um inteiro
com
, ou seja,