Uma função f real é dita ser periódica com período T se f(x +T)=f(x). Por exemplo, 4 \pi é um período de sen x pois \operatorname{sen}(x+4 \pi)=\operatorname{sen} x. O menor valor de T para o qual f(x+ T)=f(x) se aplica é denominado período fundamental de f. Por exemplo, o período fundamental de f(x)=\operatorname{sen} x é T= 2 \pi. Qual é o período fundamental de cada uma das seguintes funções?
f(x)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} \cos \frac{n \pi}{p} x+B_{n} \operatorname{sen} \frac{n \pi}{p} x\right), A_{n} e B_{n} dependendo somente de n

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n}\cos\frac{n\pi}{p}x+B_{n}\operatorname{sen}\frac{n\pi}{p}x\right),
onde, para cada n, os coeficientes A_{n} e B_{n} dependem apenas de n. A pergunta é: qual é o período fundamental de f?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada termo da soma é um cosseno ou seno com argumento \dfrac{n\pi}{p}x.
  • Os coeficientes A_n,B_n podem ser zero ou não, dependendo de n.
  • Não há indicação adicional sobre quais coeficientes são nulos; portanto devemos tratar o caso geral e também descrever situações especiais (quando muitos coeficientes são zero).

Passo 2

Vamos primeiro entender o período de um único termo trigonométrico. Considere a função g_n(x)=\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{p}x\right). O período fundamental de \cos(\omega x) é \dfrac{2\pi}{\omega}. Neste caso \omega=\dfrac{n\pi}{p}. Logo o período de g_n é
T_n=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\tfrac{n\pi}{p}}=\frac{2p}{n}.
O mesmo raciocínio vale para h_n(x)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{n\pi}{p}x\right): o período fundamental de h_n é também \dfrac{2p}{n}.\n
Explicando de forma bem direta: ao somar x com T_n obtém-se
\frac{n\pi}{p}(x+T_n)=\frac{n\pi}{p}x+\frac{n\pi}{p}\cdot\frac{2p}{n}=\frac{n\pi}{p}x+2\pi,
e adicionar 2\pi ao argumento de seno ou cosseno não altera o valor da função.

Passo 3

Agora queremos um período comum para todos os termos presentes na soma. Se a soma envolve termos para vários n, um número T é período comum de todos eles se, para cada n com coeficiente não nulo,
T \text{ é múltiplo de } T_n=\frac{2p}{n}.éú
A condição equivalente é, para todo n cujo A_n ou B_n não seja zero,
\frac{nT}{2p}\in\mathbb{Z}.
Isto significa que o número \alpha=\dfrac{T}{2p} deve satisfazer n\alpha\in\mathbb{Z} para todos os n que aparecem na soma.

Passo 4

Seja S=\{n\in\mathbb{N}\mid A_n\neq0\text{ ou }B_n\neq0\} o conjunto dos índices realmente presentes (com coeficiente não nulo). Defina
g=\gcd(S),
ou seja, o maior divisor comum dos inteiros em S. Vou justificar por que o período fundamental de f é
T_{\text{fund}}=\frac{2p}{g}.
Prova intuitiva e direta:
  • Para qualquer n\in S temos que n é múltiplo de g, escrevendo n=g\cdot m com m\in\mathbb{N}. Então
\frac{n}{g}=m\in\mathbb{Z}\quad\Rightarrow\quad \frac{n}{g}\cdot\frac{2p}{g}=\frac{2p n}{g^{2}}
mas a maneira prática de ver é: calcule a fase ao somar x com T=2p/g:
\frac{n\pi}{p}(x+T)=\frac{n\pi}{p}x+\frac{n\pi}{p}\cdot\frac{2p}{g}=\frac{n\pi}{p}x+\frac{2n\pi}{g}.
Como n é múltiplo de g, \dfrac{2n\pi}{g} é um múltiplo inteiro de 2\pi, logo cada termo \cos\!\left(\dfrac{n\pi}{p}x\right) e \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{n\pi}{p}x\right) volta ao mesmo valor quando x é incrementado de T=\dfrac{2p}{g}. Portanto T=\dfrac{2p}{g} é um período comum.
  • É o menor período positivo comum porque se existisse um período T'<T comum a todos os termos, então \alpha'=\dfrac{T'}{2p} satisfaria n\alpha'\in\mathbb{Z} para todo n\in S. Isso implica que \alpha' é um múltiplo de \dfrac{1}{g} (o menor número racional positivo com essa propriedade é \dfrac{1}{g}), logo T'\ge 2p\cdot\dfrac{1}{g}=T. Assim \dfrac{2p}{g} é realmente o período fundamental.

Passo 5

Casos especiais e interpretação prática (úteis para a prova):
  • Caso genérico (mais comum): se há pelo menos um termo com índice n que não tem nenhum divisor comum com os outros índices de forma que \gcd(S)=1 (por exemplo se há termos com n=1 ou, de modo geral, índices cuja gcd é 1), então g=1 e
T_{\text{fund}}=2p.
É o caso típico quando não há padrão que anule todos os termos de determinados resíduos.
  • Exemplo concreto: se apenas os índices pares aparecem (isto é, S\subseteq\{2,4,6,\dots\}), então \gcd(S)=2 e T_{\text{fund}}=2p/2=p.
  • Se somente os múltiplos de k aparecem, então \gcd(S)=k e T_{\text{fund}}=2p/k.
  • Caso degenerado: se todos os coeficientes A_n e B_n são zero para todo n\ge1, então f(x)=A_0 é constante. Uma função constante é periódica para qualquer T>0; nesse caso não existe um “menor” período positivo único (convencionalmente diz-se que o período fundamental não é bem definido ou que a função é periódica com qualquer período).

Passo 6

Resumo operacional que você pode aplicar rápido na prova:
  • Identifique o conjunto S dos índices com coeficiente não nulo.
  • Calcule g=\gcd(S).
  • O período fundamental é \dfrac{2p}{g}.
  • Se você não souber nada sobre os coeficientes (caso mais genérico), assuma g=1 e então o período fundamental é 2p.

Resposta

T_{\text{fund}}=\dfrac{2p}{g}, onde g=\gcd\{\,n\ge1\mid A_n\neq0\\ \text{ou}\\ B_n\neq0\,\}.\n
Caso genérico (por exemplo se A_1 ou algum índice que torne g=1 for não nulo): T_{\text{fund}}=2p.\n
Caso degenerado (todos A_n=B_n=0 para n\ge1): f(x)=A_0 é constante e não há um único menor período positivo definido.

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