Uma função
real é dita ser periódica com período
se
. Por exemplo,
é um período de sen
pois
. O menor valor de
para o qual
se aplica é denominado período fundamental de
. Por exemplo, o período fundamental de
é
. Qual é o período fundamental de cada uma das seguintes funções?
,
e
dependendo somente de
Passo 1
O enunciado fornece a função
onde, para cada
, os coeficientes
e
dependem apenas de
. A pergunta é: qual é o período fundamental de
?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada termo da soma é um cosseno ou seno com argumento
. - Os coeficientes
podem ser zero ou não, dependendo de . - Não há indicação adicional sobre quais coeficientes são nulos; portanto devemos tratar o caso geral e também descrever situações especiais (quando muitos coeficientes são zero).
Passo 2
Vamos primeiro entender o período de um único termo trigonométrico. Considere a função
. O período fundamental de
é
. Neste caso
. Logo o período de
é
O mesmo raciocínio vale para
: o período fundamental de
é também
.\n
Explicando de forma bem direta: ao somar com
obtém-se
Explicando de forma bem direta: ao somar
e adicionar
ao argumento de seno ou cosseno não altera o valor da função.
Passo 3
Agora queremos um período comum para todos os termos presentes na soma. Se a soma envolve termos para vários
, um número
é período comum de todos eles se, para cada
com coeficiente não nulo,
A condição equivalente é, para todo
cujo
ou
não seja zero,
Isto significa que o número
deve satisfazer
para todos os
que aparecem na soma.
Passo 4
Seja
o conjunto dos índices realmente presentes (com coeficiente não nulo). Defina
ou seja, o maior divisor comum dos inteiros em
. Vou justificar por que o período fundamental de
é
Prova intuitiva e direta:
- Para qualquer
temos que é múltiplo de , escrevendo com . Então
mas a maneira prática de ver é: calcule a fase ao somar
com
:
Como
é múltiplo de
,
é um múltiplo inteiro de
, logo cada termo
e
volta ao mesmo valor quando
é incrementado de
. Portanto
é um período comum.
- É o menor período positivo comum porque se existisse um período
comum a todos os termos, então satisfaria para todo . Isso implica que é um múltiplo de (o menor número racional positivo com essa propriedade é ), logo . Assim é realmente o período fundamental.
Passo 5
Casos especiais e interpretação prática (úteis para a prova):
- Caso genérico (mais comum): se há pelo menos um termo com índice
que não tem nenhum divisor comum com os outros índices de forma que (por exemplo se há termos com ou, de modo geral, índices cuja gcd é ), então e
É o caso típico quando não há padrão que anule todos os termos de determinados resíduos.
- Exemplo concreto: se apenas os índices pares aparecem (isto é,
), então e . - Se somente os múltiplos de
aparecem, então e . - Caso degenerado: se todos os coeficientes
e são zero para todo , então é constante. Uma função constante é periódica para qualquer ; nesse caso não existe um “menor” período positivo único (convencionalmente diz-se que o período fundamental não é bem definido ou que a função é periódica com qualquer período).
Passo 6
Resumo operacional que você pode aplicar rápido na prova:
- Identifique o conjunto
dos índices com coeficiente não nulo. - Calcule
. - O período fundamental é
. - Se você não souber nada sobre os coeficientes (caso mais genérico), assuma
e então o período fundamental é .
Resposta
Caso genérico (por exemplo se
Caso degenerado (todos