Nos Problemas 7-12, mostre que o conjunto de funções apresentado é ortogonal no intervalo indicado. Determine a norma de cada função no conjunto.
{\operatorname{sen} n x}, n=1,2,3, ··· ;[0, \pi]

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de funções \{\sin n x\}, com n=1,2,3,\ldots, no intervalo [0,\pi]. O que é pedido:
  • Mostrar que o conjunto é ortogonal no intervalo [0,\pi].
  • Determinar a norma de cada função \sin n x (no mesmo intervalo).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • As funções são \sin n x com n inteiro positivo.
  • O intervalo é [0,\pi].

Passo 2

Definição que vamos usar (aula rápida): em espaços de funções, a ortogonalidade é definida com respeito ao produto interno. Aqui usamos o produto interno usual
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{\pi} f(x)\,g(x)\,dx.
Dizemos que f e g são ortogonais se \langle f,g\rangle=0. A norma associada a f é
\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}=\sqrt{\int_{0}^{\pi} f(x)^2\,dx}.
Então para provar ortogonalidade precisamos mostrar que, quando n\neq m,
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=0,
e para a norma devemos calcular \int_{0}^{\pi}\sin^2(nx)\,dx.

Passo 3

Ferramenta trigonométrica útil (relembre e guarde para a prova): a identidade do produto para seno:
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Vamos aplicar com A=nx e B=mx. Assim
\sin(nx)\sin(mx)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\big).
Substituímos essa expressão dentro do integral que define o produto interno:
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos((n-m)x)\,dx-\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos((n+m)x)\,dx.

Passo 4

Calcule as integrais de cosseno (explicando a conta passo a passo). Para um inteiro k\neq 0,
\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\left[\frac{\sin(kx)}{k}\right]_{0}^{\pi} =\frac{\sin(k\pi)-\sin(0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0,
porque \sin(k\pi)=0 para todo k inteiro. Agora aplique isso aos dois termos:
  • No primeiro termo, k=n-m. Se n\neq m então k é um inteiro diferente de zero, logo \int_{0}^{\pi}\cos((n-m)x)\,dx=0.
  • No segundo termo, k=n+m. Como n,m\ge1, k\ge2, logo também diferente de zero, então \int_{0}^{\pi}\cos((n+m)x)\,dx=0.
Portanto, para n\neq m,
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot 0 - \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 0.
Isso prova a ortogonalidade dos diferentes \sin nx no intervalo [0,\pi].

Passo 5

Agora calcule a norma (caso n=m). Começamos com a integral de \sin^2(nx). Use a identidade de duplicação:
\sin^2(nx)=\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2nx)\big).
Integre de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}\sin^2(nx)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx - \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2nx)\,dx.
O primeiro integral é simples:
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot \pi=\tfrac{\pi}{2}.
O segundo integral é do tipo \int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx com k=2n\neq 0, logo por cálculo anterior vale 0. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^2(nx)\,dx=\tfrac{\pi}{2}.
Então a norma ao quadrado é \| \sin(nx)\|^2=\tfrac{\pi}{2}, e a norma é
\|\sin(nx)\|=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}.
Note que esse resultado não depende de n (para n\ge1).

Passo 6

Resumo final (intuitivo e prático para a prova): as integrais mistas entre \sin(nx) e \sin(mx) com n\neq m anulam-se porque se transformam em integrais de cosseno com frequência inteira não nula sobre um intervalo que contém um número inteiro de meios-períodos, e essas integrais dão zero. A integral de \sin^2(nx) \pi/2. Portanto o conjunto é ortogonal e cada função tem norma constante \sqrt{\pi/2}.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=0 para n\neq m.
\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^2(nx)\,dx=\frac{\pi}{2}, logo \displaystyle \|\sin(nx)\|=\sqrt{\frac{\pi}{2}} para todo n=1,2,\dots.

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