Nos Problemas 7-12, mostre que o conjunto de funções apresentado é ortogonal no intervalo indicado. Determine a norma de cada função no conjunto.
{\operatorname{sen} n x}, n=1,2,3, ··· ;[0, \pi]
{\operatorname{sen} n x}, n=1,2,3, ··· ;[0, \pi]
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de funções
, com
, no intervalo
. O que é pedido:
- Mostrar que o conjunto é ortogonal no intervalo
. - Determinar a norma de cada função
(no mesmo intervalo).
Informações relevantes que temos do enunciado:
- As funções são
com inteiro positivo. - O intervalo é
.
Passo 2
Definição que vamos usar (aula rápida): em espaços de funções, a ortogonalidade é definida com respeito ao produto interno. Aqui usamos o produto interno usual
Dizemos que
e
são ortogonais se
. A norma associada a
é
Então para provar ortogonalidade precisamos mostrar que, quando
,
e para a norma devemos calcular
.
Passo 3
Ferramenta trigonométrica útil (relembre e guarde para a prova): a identidade do produto para seno:
Vamos aplicar com
e
. Assim
Substituímos essa expressão dentro do integral que define o produto interno:
Passo 4
Calcule as integrais de cosseno (explicando a conta passo a passo). Para um inteiro
,
porque
para todo
inteiro. Agora aplique isso aos dois termos:
- No primeiro termo,
. Se então é um inteiro diferente de zero, logo . - No segundo termo,
. Como , , logo também diferente de zero, então .
Portanto, para
,
Isso prova a ortogonalidade dos diferentes
no intervalo
.
Passo 5
Agora calcule a norma (caso
). Começamos com a integral de
. Use a identidade de duplicação:
Integre de
a
:
O primeiro integral é simples:
O segundo integral é do tipo
com
, logo por cálculo anterior vale
. Assim
Então a norma ao quadrado é
, e a norma é
Note que esse resultado não depende de
(para
).
Passo 6
Resumo final (intuitivo e prático para a prova): as integrais mistas entre
e
com
anulam-se porque se transformam em integrais de cosseno com frequência inteira não nula sobre um intervalo que contém um número inteiro de meios-períodos, e essas integrais dão zero. A integral de
dá
. Portanto o conjunto é ortogonal e cada função tem norma constante
.