A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x}) é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[38: 42]

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função \mathrm{f}(\mathrm{x}) = \operatorname{sen}(\mathrm{x}) + \cos(\mathrm{x}).
  • Intervalo inicial para busca da raiz: [38:42], ou seja a_0=38 e b_0=42.
  • Método pedido: posição falsa modificada (FPM).
  • Critério de tolerância: \varepsilon=0,002.
O que se pede: determinar o zero (uma aproximação do x tal que \mathrm{f}(x)=0) dentro do intervalo dado, usando o método da posição falsa modificada até que a aproximação satisfaça a precisão \varepsilon.

Passo 2

Explicando o método (FPM, variante “Illinois”, de forma didática):
  • A posição falsa simples (regula falsi) aproxima a raiz por intersecção da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. A fórmula do ponto de intersecção c é
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
  • Depois de calcular c avalia-se f\text{(c)}. Se f(a)\cdot f\text{(c)}<0 a raiz está em [a,c]; se f\text{(c)}\cdot f(b)<0 a raiz está em [c,b].
  • Problema da regula falsi: um dos extremos pode ficar “preso” (não se move) e o método converge muito lentamente. A modificação (Illinois) resolve isto: após escolher o novo intervalo, o valor de f no extremo que não foi substituído é dividido por 2 (aplica-se um fator 1/2 ao valor usado na fórmula de interpolação da próxima iteração). Esse ajuste acelera a convergência evitando estagnação.
  • Critério de parada que vou usar (escolha justificável para provas): parar quando a diferença absoluta entre duas aproximações consecutivas de c for menor que \varepsilon, ou seja quando
|c_{n+1}-c_n| < \varepsilon.
Também monitorarei o sinal de f\text{(c)} para decidir atualização de intervalo.

Passo 3

Simplificação útil para calcular f(x) eficientemente:
\operatorname{sen}x+\cos x = \sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right).
Explicação: usar a soma de seno e cosseno reduz a avaliação para um único seno deslocado, o que facilita cálculos para argumentos grandes — basta reduzir x+\pi/4 por múltiplos de \pi para obter um ângulo pequeno, avaliar o seno e multiplicar por \sqrt{2}.
Ao calcular seno de um ângulo grande t pode-se escrever t = k\pi + r com r pequeno; então \sin t = (-1)^k \sin r. Vou usar isso para avaliar f nos pontos do procedimento.

Passo 4

Avaliação inicial de f nos extremos (mostrando redução por múltiplos de \pi):
  • Para x=38:
    x+\frac{\pi}{4}=38+\frac{\pi}{4}\approx 38{,}7853981634.
    Subtraindo 12\pi (porque 12\pi\approx 37{,}6991118431) obtemos o resto
    r\approx 1{,}0862863203\quad(\text{entre }0\text{ e }\pi).
    Logo \sin\!\left(38+\frac{\pi}{4}\right)=\sin r\approx 0{,}884912 e
    f(38)=\sqrt{2}\cdot 0{,}884912\approx 1{,}25145.
  • Para x=42:
    x+\frac{\pi}{4}=42+\frac{\pi}{4}\approx 42{,}7853981634.
    Subtraindo 13\pi (porque 13\pi\approx 40{,}8407044967) obtemos o resto
    r\approx 1{,}9446936667.
    Como o múltiplo é 13 (ímpar), \sin\!\left(13\pi+r\right)=(-1)^{13}\sin r=-\sin r.
    \sin r\approx 0{,}93017 então \sin(42+\pi/4)\approx -0{,}93017 e
    f(42)=\sqrt{2}\cdot(-0{,}93017)\approx -1{,}3157.
Como f(38)>0 e f(42)<0 há uma raiz no intervalo [38,42].

Passo 5

Vamos aplicar o procedimento iterativo (mostro cada iteração com números arredondados razoavelmente). Notação: a,b são os extremos atuais, f(a),f(b) seus valores (quando aplico o fator 1/2 deixo explícito que foi modificado para a interpolação). A fórmula usada em cada iteração é
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Iteração 1:
  • a_0=38,\; b_0=42,\; f(a_0)\approx 1{,}25145,\; f(b_0)\approx -1{,}3157.
  • Calculo c_1 = 42 - (-1{,}3157)\frac{42-38}{-1{,}3157-1{,}25145}\approx 39{,}9494.
  • Avalio f(c_1) usando a redução: f(c_1)\approx 0{,}14948 (positivo).
  • Como f(a_0)\cdot f(c_1)>0 a raiz está em [c_1,b_0]=[39{,}9494,42].
  • Aplicando a modificação Illinois: o extremo que não se moveu foi b, então para a próxima interpolação uso f(b) modificado por 1/2: f(b)_{\text{mod}} \leftarrow \frac{f(b)}{2}\approx -0{,}65785.

Passo 6

Iteração 2:
  • Agora a_1=c_1=39{,}9494,\; b_1=42,\; f(a_1)=0{,}14948,\; f(b_1)_{\text{mod}}=-0{,}65785 (uso este valor na fórmula).
  • Calculo c_2 = 42 - (-0{,}65785)\frac{42-39{,}9494}{-0{,}65785-0{,}14948}\approx 40{,}3298.
  • Avalio f(c_2)\approx -0{,}3835 (negativo).
  • Como f(a_1)\cdot f(c_2)<0 a raiz está em [a_1,c_2]=[39{,}9494,40{,}3298].
  • O extremo que não se moveu foi a, então para a próxima interpolação aplico f(a)\leftarrow f(a)/2, isto é f(a)_{\text{mod}}\approx 0{,}07474.

Passo 7

Iteração 3:
  • a=39{,}9494,\; b=40{,}3298,\; f(a)_{\text{mod}}=0{,}07474,\; f(b)=-0{,}3835.
  • Calculo c_3 = 40{,}3298 - (-0{,}3835)\frac{40{,}3298-39{,}9494}{-0{,}3835-0{,}07474}\approx 40{,}0116.
  • Avalio f(c_3)\approx 0{,}06179 (positivo).
  • Como f(a)\cdot f(c_3)>0 (note: sinal considerando valores reais), a raiz está em [c_3,b]=[40{,}0116,40{,}3298].
  • O extremo que não se moveu foi b, então atualizo f(b)_{\text{mod}} \leftarrow f(b)/2 \approx -0{,}19175.

Passo 8

Iteração 4:
  • a=40{,}0116,\; b=40{,}3298,\; f(a)=0{,}06179,\; f(b)_{\text{mod}}=-0{,}19175.
  • Calculo c_4 = 40{,}3298 - (-0{,}19175)\frac{40{,}3298-40{,}0116}{-0{,}19175-0{,}06179}\approx 40{,}0892.
  • Avalio f(c_4)\approx -0{,}04796 (negativo).
  • Como f(a)\cdot f(c_4)<0, a raiz está em [a,c_4]=[40{,}0116,40{,}0892].
  • O extremo que não se moveu foi a, então f(a)_{\text{mod}}\leftarrow f(a)/2\approx 0{,}030895.

Passo 9

Iteração 5:
  • a=40{,}0116,\; b=40{,}0892,\; f(a)_{\text{mod}}=0{,}030895,\; f(b)=-0{,}04796.
  • Calculo c_5 = 40{,}0892 - (-0{,}04796)\frac{40{,}0892-40{,}0116}{-0{,}04796-0{,}030895}\approx 40{,}04202.
  • Avalio f(c_5)\approx 0{,}01878 (positivo).
  • Como f(a)\cdot f(c_5)>0, a raiz está em [c_5,b]=[40{,}04202,40{,}0892].
  • O extremo que não se moveu foi b, então f(b)_{\text{mod}}\leftarrow f(b)/2\approx -0{,}02398.

Passo 10

Iteração 6:
  • a=40{,}04202,\; b=40{,}0892,\; f(a)=0{,}01878,\; f(b)_{\text{mod}}=-0{,}02398.
  • Calculo c_6 = 40{,}0892 - (-0{,}02398)\frac{40{,}0892-40{,}04202}{-0{,}02398-0{,}01878}\approx 40{,}06275.
  • Avalio f(c_6)\approx -0{,}01053 (negativo).
  • Como f(a)\cdot f(c_6)<0, a raiz está em [a,c_6]=[40{,}04202,40{,}06275].
  • O extremo que não se moveu foi a, então f(a)_{\text{mod}}\leftarrow f(a)/2\approx 0{,}00939.

Passo 11

Iteração 7:
  • a=40{,}04202,\; b=40{,}06275,\; f(a)_{\text{mod}}=0{,}00939,\; f(b)=-0{,}01053.
  • Calculo c_7 = 40{,}06275 - (-0{,}01053)\frac{40{,}06275-40{,}04202}{-0{,}01053-0{,}00939}\approx 40{,}05177.
  • Avalio f(c_7)\approx 0{,}00501 (positivo).
  • Como f(a)\cdot f(c_7)>0, a raiz está em [c_7,b]=[40{,}05177,40{,}06275].
  • O extremo que não se moveu foi b, então f(b)_{\text{mod}}\leftarrow f(b)/2\approx -0{,}005265.

Passo 12

Iteração 8:
  • a=40{,}05177,\; b=40{,}06275,\; f(a)=0{,}00501,\; f(b)_{\text{mod}}=-0{,}005265.
  • Calculo c_8 = 40{,}06275 - (-0{,}005265)\frac{40{,}06275-40{,}05177}{-0{,}005265-0{,}00501}\approx 40{,}05712.
  • Avalio f(c_8)\approx -0{,}002565 (negativo).
  • Como f(a)\cdot f(c_8)<0, a raiz está em [a,c_8]=[40{,}05177,40{,}05712].
  • O extremo que não se moveu foi a, então f(a)_{\text{mod}}\leftarrow f(a)/2\approx 0{,}002505.

Passo 13

Iteração 9:
  • a=40{,}05177,\; b=40{,}05712,\; f(a)_{\text{mod}}=0{,}002505,\; f(b)=-0{,}002565.
  • Calculo c_9 = 40{,}05712 - (-0{,}002565)\frac{40{,}05712-40{,}05177}{-0{,}002565-0{,}002505}\approx 40{,}05441.
  • Avalio f(c_9)\approx 0{,}001269 (positivo).
  • Como f(a)\cdot f(c_9)>0, a raiz está em [c_9,b]=[40{,}05441,40{,}05712].
  • O extremo que não se moveu foi b, então f(b)_{\text{mod}}\leftarrow f(b)/2\approx -0{,}0012825.

Passo 14

Iteração 10:
  • a=40{,}05441,\; b=40{,}05712,\; f(a)=0{,}001269,\; f(b)_{\text{mod}}=-0{,}0012825.
  • Calculo c_{10} = 40{,}05712 - (-0{,}0012825)\frac{40{,}05712-40{,}05441}{-0{,}0012825-0{,}001269}\approx 40{,}05576.
  • Avalio f(c_{10})\approx -0{,}000641 (negativo).
  • Diferença entre as últimas duas aproximações: |c_{10}-c_9| \approx |40{,}05576-40{,}05441| \approx 0{,}00135.Como 0{,}00135 < \varepsilon(=0{,}002), o critério de parada foi satisfeito.
Observação: a solução exata por forma fechada (para checagem) é x = k\pi - \tfrac{\pi}{4}. No intervalo dado o k inteiro relevante é k=13, o que dá a raiz exata
x = 13\pi - \frac{\pi}{4}\approx 40{,}055306\ldots
A aproximação obtida pelo FPM modificado c_{10}\approx 40{,}05576 está dentro da tolerância pedida e próxima da raiz exata.

Resposta

40{,}05576

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