A função
é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - Intervalo inicial para busca da raiz:
, ou seja e . - Método pedido: posição falsa modificada (FPM).
- Critério de tolerância:
.
O que se pede: determinar o zero (uma aproximação do
tal que
) dentro do intervalo dado, usando o método da posição falsa modificada até que a aproximação satisfaça a precisão
.
Passo 2
Explicando o método (FPM, variante “Illinois”, de forma didática):
- A posição falsa simples (regula falsi) aproxima a raiz por intersecção da reta que une os pontos
e com o eixo . A fórmula do ponto de intersecção é
- Depois de calcular
avalia-se . Se a raiz está em ; se a raiz está em . - Problema da regula falsi: um dos extremos pode ficar “preso” (não se move) e o método converge muito lentamente. A modificação (Illinois) resolve isto: após escolher o novo intervalo, o valor de
no extremo que não foi substituído é dividido por 2 (aplica-se um fator ao valor usado na fórmula de interpolação da próxima iteração). Esse ajuste acelera a convergência evitando estagnação. - Critério de parada que vou usar (escolha justificável para provas): parar quando a diferença absoluta entre duas aproximações consecutivas de
for menor que , ou seja quando
Também monitorarei o sinal de
para decidir atualização de intervalo.
Passo 3
Simplificação útil para calcular
eficientemente:
Explicação: usar a soma de seno e cosseno reduz a avaliação para um único seno deslocado, o que facilita cálculos para argumentos grandes — basta reduzir
por múltiplos de
para obter um ângulo pequeno, avaliar o seno e multiplicar por
.
Ao calcular seno de um ângulo grande
pode-se escrever
com
pequeno; então
. Vou usar isso para avaliar
nos pontos do procedimento.
Passo 4
Avaliação inicial de
nos extremos (mostrando redução por múltiplos de
):
-
Para
: Subtraindo(porque ) obtemos o resto Logoe -
Para
: Subtraindo(porque ) obtemos o resto Como o múltiplo é(ímpar), .
então e
Como
e
há uma raiz no intervalo
.
Passo 5
Vamos aplicar o procedimento iterativo (mostro cada iteração com números arredondados razoavelmente). Notação:
são os extremos atuais,
seus valores (quando aplico o fator
deixo explícito que foi modificado para a interpolação). A fórmula usada em cada iteração é
Iteração 1:
-
- Calculo
- Avalio
usando a redução: (positivo). - Como
a raiz está em . - Aplicando a modificação Illinois: o extremo que não se moveu foi
, então para a próxima interpolação uso modificado por :
Passo 6
Iteração 2:
- Agora
(uso este valor na fórmula). - Calculo
- Avalio
(negativo). - Como
a raiz está em . - O extremo que não se moveu foi
, então para a próxima interpolação aplico , isto é .
Passo 7
Iteração 3:
-
. - Calculo
- Avalio
(positivo). - Como
(note: sinal considerando valores reais), a raiz está em . - O extremo que não se moveu foi
, então atualizo
Passo 8
Iteração 4:
-
. - Calculo
- Avalio
(negativo). - Como
, a raiz está em . - O extremo que não se moveu foi
, então
Passo 9
Iteração 5:
-
. - Calculo
- Avalio
(positivo). - Como
, a raiz está em . - O extremo que não se moveu foi
, então
Passo 10
Iteração 6:
-
. - Calculo
- Avalio
(negativo). - Como
, a raiz está em . - O extremo que não se moveu foi
, então
Passo 11
Iteração 7:
-
. - Calculo
- Avalio
(positivo). - Como
, a raiz está em . - O extremo que não se moveu foi
, então
Passo 12
Iteração 8:
-
. - Calculo
- Avalio
(negativo). - Como
, a raiz está em . - O extremo que não se moveu foi
, então
Passo 13
Iteração 9:
-
. - Calculo
- Avalio
(positivo). - Como
, a raiz está em . - O extremo que não se moveu foi
, então
Passo 14
Iteração 10:
-
. - Calculo
- Avalio
(negativo). - Diferença entre as últimas duas aproximações:
Como , o critério de parada foi satisfeito.
Observação: a solução exata por forma fechada (para checagem) é
. No intervalo dado o
inteiro relevante é
, o que dá a raiz exata
A aproximação obtida pelo FPM modificado
está dentro da tolerância pedida e próxima da raiz exata.