Para a função f(x)=x^3-9 x+5, mostre que f possui uma única raiz em (-4,-3).
(a) Use 7 dígitos, para determiná-la pelo Método de Newton, com precisão dupla epsilon1=epsilon2=10^-5.

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas: primeiro, mostrar que a função
f(x)=x^3-9x+5
tem exatamente uma raiz no intervalo xn+1=xn-f(xn)f'(xn), ; segundo, aproximar essa raiz pelo Método de Newton com precisão dupla , usando representações com 7 casas decimais.
Conteúdo principal: Teorema do Valor Intermediário, monotonicidade via derivada, e Método de Newton. Vamos precisar de
  1. verificar e e o sinal de nesse intervalo;
  2. aplicar iterativamente
parando quando tanto quanto .

Passo 2

Primeiro, checamos o Teorema do Valor Intermediário:
  • f'(x)=3x^2-9>=3cdot(-4)^2-9=3cdot16-9=39>0

  • Como , existe pelo menos uma raiz em .
    Agora a monotonicidade:
para todo . Logo é estritamente crescente ali, o que garante apenas uma raiz em .

Passo 3

Bora para o Método de Newton. A fórmula é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn), f'(x)=3x^2-9
Escolhemos o chute inicial |De. A cada passo calculamos , , depois . Paramos quando

Passo 4

Rodando as contas (tudo com 7 casas decimais):
n
0 -3.5000000 -6.3750000
1 -3.2702703 -0.5611480 +0.2297297
2 -3.2459754 -0.0282094 +0.0242949
3 -3.2447283 -0.0015721 +0.0012471
4 -3.2446588 -0.0000696 +0.0000695
5 -3.2446406 -0.0000028 +0.0000182
6 -3.2446406 -0.0000000 +0.0000001
Note que em já temos ( \Delta x_5 =1.0\times10{-7}<10{-5}) e ( f(x_5) \approx2.8\times10{-6}<10{-5}).

Resposta

A raiz única de boxedxapprox -3.2446406, em é aproximadamente

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