Para a função
, mostre que
possui uma única raiz em
.
(a) Use 7 dígitos, para determiná-la pelo Método de Newton, com precisão dupla
.
(a) Use 7 dígitos, para determiná-la pelo Método de Newton, com precisão dupla
Passo 1
Beleza, o exercício pede duas coisas: primeiro, mostrar que a função
tem exatamente uma raiz no intervalo
; segundo, aproximar essa raiz pelo Método de Newton com precisão dupla
, usando representações com 7 casas decimais.
Conteúdo principal: Teorema do Valor Intermediário, monotonicidade via derivada, e Método de Newton. Vamos precisar de
Conteúdo principal: Teorema do Valor Intermediário, monotonicidade via derivada, e Método de Newton. Vamos precisar de
- verificar
e e o sinal de nesse intervalo; - aplicar iterativamente
parando quando tanto
quanto
.
Passo 2
Primeiro, checamos o Teorema do Valor Intermediário:
-
-
Como, existe pelo menos uma raiz em .
Agora a monotonicidade:
para todo
. Logo
é estritamente crescente ali, o que garante apenas uma raiz em
.
Passo 3
Bora para o Método de Newton. A fórmula é
Escolhemos o chute inicial
. A cada passo calculamos
,
, depois
. Paramos quando
Passo 4
Rodando as contas (tudo com 7 casas decimais):
n |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
0 | -3.5000000 | -6.3750000 | — | |
1 | -3.2702703 | -0.5611480 | +0.2297297 | |
2 | -3.2459754 | -0.0282094 | +0.0242949 | |
3 | -3.2447283 | -0.0015721 | +0.0012471 | |
4 | -3.2446588 | -0.0000696 | +0.0000695 | |
5 | -3.2446406 | -0.0000028 | +0.0000182 | |
6 | -3.2446406 | -0.0000000 | +0.0000001 | |
Note que em
|
\Delta x_5 | =1.0\times10{-7}<10{-5}) e ( | f(x_5) | \approx2.8\times10{-6}<10{-5}). |
Resposta
A raiz única de
em
é aproximadamente