Provar que, se
, então
Passo 1
Vamos usar uma técnica legal de integral para lidar com essa fração
. Primeiro, notamos que para
vale a identidade de Beta:
Então podemos escrever o somatório como
e inserimos a integral:
Passo 2
Agora trocamos soma e integral (tudo converge bem):
Passo 3
Para simplificar o somatório interno, fatoramos
e usamos a mudança de índice
:
Passo 4
Mas conhecemos duas somas clássicas:
Passo 5
Assim
Logo o integrando vira
Passo 6
e então
Passo 7
Reconhecemos aqui uma integral de Beta:
$$\int_{0}{1}x{m-n-1}(1-x)^{n-1},dx
=\frac{(m-n-1)!(n-1)!}{(m-1)!}.
S=\binom{m}{n};n;\frac{(m-n-1)!(n-1)!}{(m-1)!}.
$$
Passo 8
Substituindo
e simplificando fica fácil ver que o resultado é
$$\frac{m}{m-n}.
$$
Resposta
\frac{m}{m-n}