Provar que, se m, n in N, m>n >= 1, então
sumk=0^n(-1)^n-kbinommnbinomnk km-k=mm-n

Passo 1

Vamos usar uma técnica legal de integral para lidar com essa fração km-k. Primeiro, notamos que para m-k>0 vale a identidade de Beta: 1m-k=integral0^1x^m-k-1,dx Então podemos escrever o somatório como
S=sumk=0^n(-1)^n-kbinommnbinomnkkm-k
e inserimos a integral:
S=binommnsumk=0^n(-1)^n-kbinomnk,kintegral0^1x^m-k-1,dx

Passo 2

Agora trocamos soma e integral (tudo converge bem):
S=binommnintegral0^1l(sumk=0^n(-1)^n-kbinomnk,k,x^m-k-1r)dx

Passo 3

Para simplificar o somatório interno, fatoramos x^m-n-1 e usamos a mudança de índice r=n-k:
sumk=0^n(-1)^n-kbinomnk,k,x^m-k-1 = x^m-n-1 sumr=0^n(n-r)binomnr(-x)^r

Passo 4

Mas conhecemos duas somas clássicas:
sumr=0^nbinomnr(-x)^r=(1-x)^n,
sumr=0^nrbinomnr(-x)^r=n(-x)(1-x)^n-1

Passo 5

Assim
sumr=0^n(n-r)binomnr(-x)^r = n(1-x)^n-n(-x)(1-x)^n-1 = n(1-x)^n-1(1-x+x) = n(1-x)^n-1
Logo o integrando vira
x^m-n-1,n(1-x)^n-1,

Passo 6

e então
S=binommnintegral0^1n,x^m-n-1(1-x)^n-1,dx

Passo 7

Reconhecemos aqui uma integral de Beta:
$$\int_{0}{1}x{m-n-1}(1-x)^{n-1},dx
=\frac{(m-n-1)!(n-1)!}{(m-1)!}. integral0^1x^m-n-1(1-x)^n-1,dx =(m-n-1)!(n-1)!(m-1)!
S=\binom{m}{n};n;\frac{(m-n-1)!(n-1)!}{(m-1)!}.
$$

Passo 8

Substituindo binommn=m!n!(m-n)! e simplificando fica fácil ver que o resultado é
$$\frac{m}{m-n}.
$$

Resposta

\frac{m}{m-n}

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