Sejam
e
. Provar que, se
são múltiplos de
para
valores consecutivos inteiros de
, então
e múltiplo de
para todo valor inteiro de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um polinômio
de grau
e um inteiro
, e que
é múltiplo de
para
valores inteiros consecutivos de
. O conteúdo que vamos usar é a interpolação de Lagrange (ou o teorema das raízes de um polinômio) para mostrar que isso obriga
a ser múltiplo de
para todo
.
Passo 2
Escolhemos os
inteiros consecutivos:
. Como
é múltiplo de
, podemos definir para cada
o valor
que é um número inteiro. Pela teoria de interpolação de Lagrange, existe um polinômio
de grau
único que satisfaz esses
valores.
Passo 3
Agora consideramos o polinômio
Como
tem grau
, o mesmo vale para
e portanto
tem grau
. Além disso, para cada
Ou seja,
tem pelo menos
raízes distintas e grau
. Pelo teorema fundamental de que um polinômio de grau
com mais de
raízes é o polinômio zero, concluímos que
isto é,
para todo
.
Passo 4
Como
, segue que para qualquer inteiro
temos
múltiplo de
.
Resposta
Para todo inteiro
,
é múltiplo de
.