Sejam P in pin e k in N. Provar que, se P(j) são múltiplos de k para n+1 valores consecutivos inteiros de j, então P(j) e múltiplo de k para todo valor inteiro de j.

Passo 1

O enunciado diz que temos um polinômio P de grau <= n e um inteiro k, e que P(j) é múltiplo de k para n+1 valores inteiros consecutivos de j. O conteúdo que vamos usar é a interpolação de Lagrange (ou o teorema das raízes de um polinômio) para mostrar que isso obriga P(j) a ser múltiplo de k para todo j.

Passo 2

Escolhemos os n+1 inteiros consecutivos: j0, j0+1, dots, j0+n. Como P(ji) é múltiplo de k, podemos definir para cada i=0,1,dots,n o valor
Q(ji)=P(ji)k,
que é um número inteiro. Pela teoria de interpolação de Lagrange, existe um polinômio Q(x) de grau <= n único que satisfaz esses n+1 valores.

Passo 3

Agora consideramos o polinômio
R(x)=P(x)-k,Q(x)
Como Q(x) tem grau <= n, o mesmo vale para k,Q(x) e portanto R(x) tem grau <= n. Além disso, para cada ji
R(ji)=P(ji)-k,Q(ji)=P(ji)-kcdotP(ji)k=0
Ou seja, R tem pelo menos n+1 raízes distintas e grau <= n. Pelo teorema fundamental de que um polinômio de grau <= n com mais de n raízes é o polinômio zero, concluímos que
R(x)equiv0,
isto é, P(x)=k,Q(x) para todo x.

Passo 4

Como P(x)=k,Q(x), segue que para qualquer inteiro j temos P(j) múltiplo de k.

Resposta

Para todo inteiro j, P(j) é múltiplo de k.

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