\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão: \quad Encontre, se possível, a inversa da matriz A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 6 & 4 \\\\ 2 & 4 & -1 \\\\ -1 & 2 & 5\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4\\\\ 2 & 4 & -1\\\\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}
Sabemos que uma matriz quadrada só é invertível se e somente se o seu determinante for não nulo. Então o plano é calcular \det(A) e, se der diferente de zero, seguir para montar a adjunta; caso contrário, não existe inversa.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -1\\\ 2 & 5\end{pmatrix} -6\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & 5\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 4\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Agora, cada menor 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}4 & -1\\\ 2 & 5\end{pmatrix} =4\cdot5 -(-1)\cdot2 = 20 + 2 = 22,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & 5\end{pmatrix} =2\cdot5 -(-1)\cdot(-1) = 10 - 1 = 9,
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2 -4\cdot(-1) = 4 + 4 = 8.
Substituindo de volta,
\det(A) = 1\cdot22 -6\cdot9 +4\cdot8 = 22 -54 +32 = 0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A é singular e não tem inversa.

Resposta

A matriz A não é invertível, pois \det(A)=0.

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