A velocidade de um carro em uma estrada é dada pela função v(t)=60+10 t-2 t^{2}, com t em horas e v(t) em \mathrm{km} / \mathrm{h}. Determine a distância percorrida pelo carro entre t=0 e t=5 horas usando:
Regra do Trapézio com n=5.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade de um carro em função do tempo
v(t)=60+10t-2t^{2},
com t em horas e v(t) em km/h, e pede a distância percorrida entre t=0 e t=5 horas usando a regra do trapézio com n=5. O conteúdo aqui é integração numérica, em especial a regra do trapézio, que approximates \int_a^b f(t)\,dt por subdividir o intervalo em n partes de comprimento h e somar trapézios.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,5] em n=5 subintervalos de igual comprimento h.
h = \frac{5-0}{5} = 1.
Os nós são
t_i = 0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5.

Passo 3

Calculamos v(t_i) em cada nó:
v(0)=60,\quad v(1)=60+10\cdot1-2\cdot1^2=68,\quad v(2)=60+10\cdot2-2\cdot2^2=72,
v(3)=60+10\cdot3-2\cdot3^2=72,\quad v(4)=60+10\cdot4-2\cdot4^2=68,\quad v(5)=60+10\cdot5-2\cdot5^2=60.

Passo 4

Aplicamos a regra do trapézio:
\int_{0}^{5}v(t)\,dt \approx h\Biggl[\frac{v(0)+v(5)}{2}+\sum_{i=1}^{4}v(t_i)\Biggr].
Calculando a soma interna:
\frac{v(0)+v(5)}{2} = \frac{60+60}{2} = 60, \qquad \sum_{i=1}^{4}v(t_i)=68+72+72+68=280,
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\int_{0}^{5}v(t)\,dt \approx 1\cdot(60+280)=340.

Resposta

A distância percorrida aproximada é 340 km.

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