A velocidade de um carro em uma estrada é dada pela função v(t)=60+10 t-2 t^{2}, com t em horas e v(t) em \mathrm{km} / \mathrm{h}. Determine a distância percorrida pelo carro entre t=0 e t=5 horas usando:
Regra de Simpson com n=4.

Passo 1

O enunciado pede a distância percorrida pelo carro entre t=0 e t=5 horas, sabendo que a velocidade é dada por
v(t) = 60 + 10\,t - 2\,t^2
com t em horas e v(t) em km/h. Isso equivale a estimar a integral
\int_{0}^{5} \bigl(60 + 10\,t - 2\,t^2\bigr)\,dt
usando a regra de Simpson com n=4 subintervalos.

Passo 2

Para aplicar Simpson com n=4 a gente divide o intervalo [0,5] em 4 partes iguais. O tamanho de cada passo é
h = \frac{5 - 0}{4} = 1{,}25.
Definimos então os nós
t_0 = 0,\quad t_1 = 1{,}25,\quad t_2 = 2{,}50,\quad t_3 = 3{,}75,\quad t_4 = 5.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade em cada nó, isto é f_i = v(t_i):
\begin{aligned} f_0 &= v(0) = 60 + 10\cdot0 - 2\cdot0^2 = 60,\\\ f_1 &= v(1{,}25) = 60 + 10\cdot1{,}25 - 2\,(1{,}25)^2 = 60 + 12{,}5 - 3{,}125 = 69{,}375,\\\ f_2 &= v(2{,}50) = 60 + 10\cdot2{,}50 - 2\,(2{,}50)^2 = 60 + 25 - 12{,}5 = 72{,}5,\\\ f_3 &= v(3{,}75) = 60 + 10\cdot3{,}75 - 2\,(3{,}75)^2 = 60 + 37{,}5 - 28{,}125 = 69{,}375,\\\ f_4 &= v(5) = 60 + 10\cdot5 - 2\cdot5^2 = 60 + 50 - 50 = 60. \end{aligned}

Passo 4

A regra de Simpson diz que
\int_{0}^{5} v(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\Bigl(f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + f_4\Bigr).
Substituindo h=1{,}25 e os f_i calculados:

Passo 5

Primeiro o somatório ponderado:
f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + f_4 = 60 + 4\cdot69{,}375 + 2\cdot72{,}5 + 4\cdot69{,}375 + 60 = 820.
Então
\frac{h}{3}\,\bigl(\dots\bigr) = \frac{1{,}25}{3}\times 820 = 0{,}416666\dots\times 820 \approx 341{,}6667.

Resposta

A distância aproximada pelo método de Simpson com n=4 é cerca de 341{,}67 km.

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