Lembre do seguinte teorema visto em aula para o cálculo do erro envolvido em aproximar f(x) por um polinômio interpolador: Sejam x0 pontos distintos de números reais e y=f(x) uma função definida em f^prime, f^prime prime, f^prime prime prime, ldots, f^(n+1) de modo que existam f(x)=Pn(x)+f^(n+1)(xi(x))(n+1)! prodi=0^n(x-xi) em Pn(x). Então para cada n existe um número tal que
em que é o -ésimo polinômio interpolador de Lagrange.
Utilize o teorema acima para encontrar um limitante do erro para as aproximações no exercício 1.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é o teorema do resto em polinômio de Lagrange. A ideia é: ao aproximar uma função Rn(x);=;f(x)-Pn(x) por um polinômio interpolador Rn(x);=;f^(n+1)(xi)(n+1)!,prodi=0^n(x - xi) nos pontos , o erro
pode ser escrito como
para algum entre e .
Conteúdo: Teorema do Resto de Lagrange em interpolação.
O que vamos precisar:
• A derivada de ordem de .
• Um majorante para em .
• A expressão .

Passo 2

Pelo teorema, para todo Rn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,prodi=0^n(x-xi) existe M ;>=; maxtin[x0,xn] l|f^(n+1)(t)r| tal que
Isso é exato, mas não conhecemos . Para virar um limitante, vamos usar um tal que

Passo 3

Como l|Rn(x)r| ;=; l|f^(n+1)(xi)(n+1)!prodi=0^n (x-xi)r| ;<=; M(n+1)!,l|prodi=0^n (x-xi)r| , temos
Pronto: essa expressão é um limitante do erro, válido para todo em .

Resposta

boxed l|f(x)-Pn(x)r| ;<=; M(n+1)!;gl|prodi=0^n(x-xi)gr|,
onde .

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