Lembre do seguinte teorema visto em aula para o cálculo do erro envolvido em aproximar por um polinômio interpolador: Sejam pontos distintos de números reais e uma função definida em de modo que existam em . Então para cada existe um número tal que
em que é o -ésimo polinômio interpolador de Lagrange.
Utilize o teorema acima para encontrar um limitante do erro para as aproximações no exercício 1.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é o teorema do resto em polinômio de Lagrange. A ideia é: ao aproximar uma função por um polinômio interpolador nos pontos , o erro
pode ser escrito como
para algum entre e .
Conteúdo: Teorema do Resto de Lagrange em interpolação.
O que vamos precisar:
• A derivada de ordem de .
• Um majorante para em .
• A expressão .
Passo 2
Pelo teorema, para todo Rn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,prodi=0^n(x-xi) existe M ;>=; maxtin[x0,xn] l|f^(n+1)(t)r| tal que
Isso é exato, mas não conhecemos . Para virar um limitante, vamos usar um tal que
Passo 3
Como l|Rn(x)r| ;=; l|f^(n+1)(xi)(n+1)!prodi=0^n (x-xi)r| ;<=; M(n+1)!,l|prodi=0^n (x-xi)r| , temos
Pronto: essa expressão é um limitante do erro, válido para todo em .