Se um líquido é drenado de um tanque cilíndrico vertical abrindo uma válvula em sua base, esse líquido irá escoar mais rápido quando o tanque está cheio e, conforme ocorre a drenagem, o escoamento se torna mais lento. A taxa com que o nível do líquido diminui é descrita pela EDO:
d yd t=-k raizy
onde k é uma constante que depende das características geométricas do tanque. Considerando k=0.06 determine o nível do tanque após 2 minutos, sabendo que o nível inicial é 3 m . Use os métodos de Euler e Runge-Kutta de ordem 4 e um passo de 0.5 min.

Passo 1

O enunciado pede a solução numérica da EDO dydt=-kraizy com k=0.06 e condição inicial y(0)=3,m, até t=2 minutos usando os métodos de Euler explícito e Runge-Kutta de 4ª ordem com passo h=0.5 min. O conteúdo envolvido é EDO ordinária e métodos numéricos de integração; vamos usar as fórmulas recursivas desses métodos para aproximar o nível do líquido.

Passo 2

No método de Euler explícito a recursão é
yn+1=yn+h,f(yn),
onde f(y)=-0.06raizy. Com h=0.5 min e y0=3.0000, calculamos:
t (min) | y_n (m) | f(y_n)
0.0 | 3.0000 | -0.06raiz3.0000approx-0.10392
0.5 | 2.9480 | -0.06raiz2.9480approx-0.10296
1.0 | 2.8966 | -0.06raiz2.8966approx-0.10212
1.5 | 2.8455 | -0.06raiz2.8455approx-0.10122
2.0 | 2.7949 | —
Cada yn+1 foi obtido por yn+0.5,f(yn).

Passo 3

No método de Runge-Kutta 4ª ordem usamos as fórmulas
k1=f(yn), k2=fl(yn+tfrach2k1r), k3=fl(yn+tfrach2k2r), k4=fl(yn+h,k3r),
yn+1=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)

Passo 4

Partindo de y0=3.0000 e h=0.5, obtemos:
Passo | y_n (m) | k_1 | k_2 | k_3 | k_4 | y_{n+1} (m)
1 | 3.0000 | -0.10392 | -0.10344 | -0.10345 | -0.10302 | 2.9483
2 | 2.9483 | -0.10302 | -0.10254 | -0.10255 | -0.10212 | 2.8970
3 | 2.8970 | -0.10212 | -0.10170 | -0.10172 | -0.10122 | 2.8461
4 | 2.8461 | -0.10123 | -0.10072 | -0.10074 | -0.10026 | 2.7958

Resposta

Usando Euler explícito: y(2)≈2,7949 m; usando Runge-Kutta de 4ª ordem: y(2)≈2,7958 m.

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