Se um líquido é drenado de um tanque cilíndrico vertical abrindo uma válvula em sua base, esse líquido irá escoar mais rápido quando o tanque está cheio e, conforme ocorre a drenagem, o escoamento se torna mais lento. A taxa com que o nível do líquido diminui é descrita pela EDO:
onde
é uma constante que depende das características geométricas do tanque. Considerando
determine o nível do tanque após 2 minutos, sabendo que o nível inicial é 3 m . Use os métodos de Euler e Runge-Kutta de ordem 4 e um passo de 0.5 min.
Passo 1
O enunciado pede a solução numérica da EDO
com
e condição inicial
, até
minutos usando os métodos de Euler explícito e Runge-Kutta de 4ª ordem com passo
min. O conteúdo envolvido é EDO ordinária e métodos numéricos de integração; vamos usar as fórmulas recursivas desses métodos para aproximar o nível do líquido.
Passo 2
No método de Euler explícito a recursão é
onde
. Com
min e
, calculamos:
t (min) | y_n (m) | f(y_n)
0.0 | 3.0000 |
0.5 | 2.9480 |
1.0 | 2.8966 |
1.5 | 2.8455 |
2.0 | 2.7949 | —
Cada foi obtido por
.
t (min) | y_n (m) | f(y_n)
0.0 | 3.0000 |
0.5 | 2.9480 |
1.0 | 2.8966 |
1.5 | 2.8455 |
2.0 | 2.7949 | —
Cada
Passo 3
No método de Runge-Kutta 4ª ordem usamos as fórmulas
Passo 4
Partindo de
e
, obtemos:
Passo | y_n (m) | k_1 | k_2 | k_3 | k_4 | y_{n+1} (m)
1 | 3.0000 | -0.10392 | -0.10344 | -0.10345 | -0.10302 | 2.9483
2 | 2.9483 | -0.10302 | -0.10254 | -0.10255 | -0.10212 | 2.8970
3 | 2.8970 | -0.10212 | -0.10170 | -0.10172 | -0.10122 | 2.8461
4 | 2.8461 | -0.10123 | -0.10072 | -0.10074 | -0.10026 | 2.7958
Passo | y_n (m) | k_1 | k_2 | k_3 | k_4 | y_{n+1} (m)
1 | 3.0000 | -0.10392 | -0.10344 | -0.10345 | -0.10302 | 2.9483
2 | 2.9483 | -0.10302 | -0.10254 | -0.10255 | -0.10212 | 2.8970
3 | 2.8970 | -0.10212 | -0.10170 | -0.10172 | -0.10122 | 2.8461
4 | 2.8461 | -0.10123 | -0.10072 | -0.10074 | -0.10026 | 2.7958
Resposta
Usando Euler explícito: y(2)≈2,7949 m; usando Runge-Kutta de 4ª ordem: y(2)≈2,7958 m.