O modelo de Michaelis-Menten descreve a cinética de certas reações enzimáticas através da equação diferencial:
d Sd t=-vm Sks+S
onde S é a concentração do substrato, vm é a velocidade de reação inicial máxima e ks é constante de semi-saturação. Considerando S(0)=S0=8 mo<=s / L, vm=0.7 mo<=s / L / d e ks=2.5 mo<=s / L, determine S em t=2 pelos métodos de Euler e Runge-Kutta de ordem 4. Use um passo de tamanho h=0.5. Levando em conta que a solução analítica dessa equação diferencial é
S=S0-vm t+ks ln (S / S0)
determine o erro relativo,em cada passo, em relação ao valor exato.

Passo 1

A equação de Michaelis–Menten dada é dS/dt=-vm,S/(ks+S) com S(0)=8, vm=0.7, ks=2.5 e passo h=0.5. Vamos usar os métodos de Euler e Runge–Kutta 4º ordem para aproximar S(t) em t=0.5,1.0,1.5,2.0 e comparar com a solução exata implícita.

Passo 2

A solução analítica implícita satisfaz
S + ksln S = S0 + ksln S0 - vm,t
Definindo C(t)=8 + 2.5ln8 - 0.7t, cada Srm ex(t) resolve
f(S)=S + 2.5ln S - C(t)=0,
que encontramos por iteração (Newton ou tentativa–erro). Os valores numéricos aproximados são
Srm ex(0.5)approx7.7350, Srm ex(1.0)approx7.4720, Srm ex(1.5)approx7.2090, Srm ex(2.0)approx6.9526

Passo 3

Pelo método de Euler usamos
Sn+1=Sn + h,f(Sn), f(S)=-0.7S2.5+S
Calculando passo a passo:
S1=8+0.5(-0.53333)=7.73333, S2=7.73333+0.5(-0.52894)=7.46888, S3=7.46888+0.5(-0.52430)=7.20671, S4=7.20671+0.5(-0.51970)=6.94686

Passo 4

Os erros relativos em cada etapa do Euler são
varepsilonn=l|Sn^E-Srm ex(tn)r|/Srm ex(tn),
isto dá aproximadamente
varepsilon0.5approx0.00021, varepsilon1.0approx0.00043, varepsilon1.5approx0.00024, varepsilon2.0approx0.00083

Passo 5

No Runge–Kutta 4º ordem usamos
Sn+1=Sn+h6(k1+2k2+2k3+k4),
onde
k1=f(Sn), k2=fl(Sn+tfrac h2k1r), k3=fl(Sn+tfrac h2k2r), k4=f(Sn+hk3)
Iterando:
S1approx7.73453, S2approx7.47114, S3approx7.20994, S4approx6.95123

Passo 6

Os erros relativos no RK4 são
varepsilon0.5approx0.00006, varepsilon1.0approx0.00011, varepsilon1.5approx0.00002, varepsilon2.0approx0.00020

Resposta

Em t=2.0: pelo método de Euler Sapprox6.94686 e pelo RK4 Sapprox6.95123.

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