Resolva os seguintes sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss sem e com pivoteamento parcial usando arredondamento com 4 dígitos significativos
r 2 x 1 + 3 x 2 - 1 x 3 = 5 4 x 1 + 4 x 2 - 3 x 3 = 3 6 x 1 - 3 x 2 + x 3 = 3 rrrl 2 x1 & +3 x2 & -5 x3 & +10=0 4 x1 & +8 x2 & -3 x3 & +19=0 -6 x1 & +x2 & +4 x3 & +11=0

Passo 1

Resumo: vamos resolver dois sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss sem e com pivoteamento parcial, arredondando todos os resultados a 4 dígitos significativos. O primeiro sistema é
2x1 + 3x2 - x3 = 5, 4x1 + 4x2 - 3x3 = 3, 6x1 - 3x2 + x3 = 3,
e o segundo é
2x1 + 3x2 - 5x3 + 10 = 0, 4x1 + 8x2 - 3x3 + 19 = 0, -6x1 + x2 + 4x3 + 11 = 0

Passo 2

Resolução do primeiro sistema sem pivoteamento parcial:
Montamos a matriz aumentada
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 5 4 & 4 & -3 & 3 6 & -3 & 1 & 3 ]
Eliminamos x1: m21=4/2=2, m31=6/2=3. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e 3 vezes da terceira, obtendo
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 5 0 & -2 & -1 & -7 0 & -12 & 4 & -12 ]
Depois eliminamos x2: m32=(-12)/(-2)=6, subtraindo 6 vezes a segunda linha da terceira, resultando em
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 5 0 & -2 & -1 & -7 0 & 0 & 10 & 30 ]
Retro-substituindo vem x3=3, x2=2 e x1=1. Arredondando a 4 dígitos significativos: (1.000, 2.000, 3.000).

Passo 3

Resolução do primeiro sistema com pivoteamento parcial:
Começamos vendo que na coluna 1 o maior pivô em valor absoluto é 6 (linha 3), então trocamos linha 1 com linha 3:
[ccc|c 6 & -3 & 1 & 3 4 & 4 & -3 & 3 2 & 3 & -1 & 5 ]
Eliminamos x1 com m21=4/6=0.6667 e m31=2/6=0.3333, gerando
[ccc|c 6.000 & -3.000 & 1.000 & 3.000 0 & 6.000 & -3.6667 & 1.000 0 & 3.9999 & -1.3333 & 4.000 ]
Pivoteamos na segunda coluna (6.000 é o maior), calculamos m32=3.9999/6.000=0.6667 e zeramos, ficando
[ccc|c 6.000 & -3.000 & 1.000 & 3.000 0 & 6.000 & -3.6667 & 1.000 0 & 0 & 1.112 & 3.333 ]
Retro-substituindo: x3=3.333/1.112=2.996, x2=(1.000+3.6667cdot2.996)/6.000=1.999, x1=(3.000+3.000cdot1.999-1.000cdot2.996)/6.000=1.000. Portanto (1.000, 1.999, 2.996).

Passo 4

Resolução do segundo sistema sem pivoteamento parcial:
Escrevemos
[ccc|c 2 & 3 & -5 & -10 4 & 8 & -3 & -19 -6 & 1 & 4 & -11 ]
Eliminamos x1: m21=4/2=2, m31=-6/2=-3, resultando em
[ccc|c 2 & 3 & -5 & -10 0 & 2 & 7 & 1 0 & 10 & -11 & -41 ]
Depois m32=10/2=5 elimina x2, obtendo
[ccc|c 2 & 3 & -5 & -10 0 & 2 & 7 & 1 0 & 0 & -46 & -46 ]
Retro-substituindo dá x3=1, x2=(1-7cdot1)/2=-3, x1=(-10-3cdot(-3)+5cdot1)/2=2. Arredondando: (2.000, -3.000, 1.000).

Passo 5

Resolução do segundo sistema com pivoteamento parcial:
A maior entrada na coluna 1 é |-6|, trocamos linha 1 com linha 3:
[ccc|c -6 & 1 & 4 & -11 4 & 8 & -3 & -19 2 & 3 & -5 & -10 ]
Eliminamos x1 com m21=4/(-6)=-0.6667, m31=2/(-6)=-0.3333, obtendo
[ccc|c -6.000 & 1.000 & 4.000 & -11.00 0 & 8.667 & -0.333 & -26.33 0 & 3.333 & -3.667 & -13.67 ]
Como 8.667>3.333, mantemos a ordem e fazemos m32=3.333/8.667=0.3846, zerando para
[ccc|c -6.000 & 1.000 & 4.000 & -11.00 0 & 8.667 & -0.333 & -26.33 0 & 0 & -3.539 & -3.542 ]
Retro-substituindo: x3=(-3.542)/(-3.539)=1.001, x2=(-26.33+0.333cdot1.001)/8.667=-2.998, x1=(-11.00-1.000cdot(-2.998)-4.000cdot1.001)/(-6.000)=2.001. Finalmente (2.001, -2.998, 1.001).

Resposta

Sistema 1 sem pivoteamento: (1.000, 2.000, 3.000); sistema 1 com pivoteamento: (1.000, 1.999, 2.996); sistema 2 sem pivoteamento: (2.000, -3.000, 1.000); sistema 2 com pivoteamento: (2.001, -2.998, 1.001).

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