Localize as raízes das equações a seguir:
1-\ln (x)=0;
Em todos os casos verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.

Passo 1

O enunciado pede para localizar as raízes da equação
1 - \ln(x) = 0
ou seja, resolver 1 - \ln(x)=0.
Conteúdo: teorema do valor intermediário e monotonicidade. Vamos precisar mostrar existência de zero num intervalo pequeno e que ele é único por monotonicidade da função associada.

Passo 2

Defina
f(x) = 1 - \ln(x),
com domínio x>0. A função \ln(x) é contínua e derivável em (0,\infty), logo f também. Além disso,
f'(x) = -\frac{1}{x} < 0
para todo x>0, isto é, f é estritamente decrescente.

Passo 3

Por ser contínua e estritamente decrescente em (0,\infty), a equação f(x)=0 pode ter no máximo uma solução nesse domínio. Isso garante a unicidade do zero caso ele exista.

Passo 4

Para testar existência, calcule f em dois pontos próximos:
f(2) = 1 - \ln(2)\approx 1 - 0{,}693 = 0{,}307 > 0,
f(3) = 1 - \ln(3)\approx 1 - 1{,}099 = -0{,}099 < 0.
Como f é contínua e muda de sinal em (2,3), pelo teorema do valor intermediário existe pelo menos um zero em (2,3). Junto com a monotonicidade, concluímos que esse zero é único nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar exatamente a raiz, basta resolver
1 - \ln(x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(x) = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = e.

Resposta

A equação 1-\ln(x)=0 tem única solução
x = e,
e esse zero está localizado no intervalo (2,3).

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