Localize as raízes das equações a seguir:
;
Em todos os casos verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os casos verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Passo 1
O enunciado pede para localizar as raízes da equação
ou seja, resolver
.
Conteúdo: teorema do valor intermediário e monotonicidade. Vamos precisar mostrar existência de zero num intervalo pequeno e que ele é único por monotonicidade da função associada.
Conteúdo: teorema do valor intermediário e monotonicidade. Vamos precisar mostrar existência de zero num intervalo pequeno e que ele é único por monotonicidade da função associada.
Passo 2
Defina
com domínio
. A função
é contínua e derivável em
, logo
também. Além disso,
para todo
, isto é,
é estritamente decrescente.
Passo 3
Por ser contínua e estritamente decrescente em
, a equação
pode ter no máximo uma solução nesse domínio. Isso garante a unicidade do zero caso ele exista.
Passo 4
Para testar existência, calcule
em dois pontos próximos:
Como
é contínua e muda de sinal em
, pelo teorema do valor intermediário existe pelo menos um zero em
. Junto com a monotonicidade, concluímos que esse zero é único nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar exatamente a raiz, basta resolver
Resposta
A equação
tem única solução
e esse zero está localizado no intervalo
.