Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
Sem pivotação parcial
\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\\\ -3 & -1 & 4 \\\\ 2 & 14 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 13 \\\\ 8 \\\\ 50 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 13\\\\ -3 & -1 & 4 & 8\\\\ 2 & 14 & 5 & 50 \end{array}\right]
e pede que a gente resolva por eliminação de Gauss sem pivotação parcial, usando três casas decimais nos cálculos intermediários. A ideia é triangularizar a matriz aumentada e, em seguida, fazer retro-substituição.

Passo 2

O pivot da primeira coluna é a_{11}=1. Calculamos os multiplicadores
m_{21}=\frac{-3}{1}=-3{,}000,\quad m_{31}=\frac{2}{1}=2{,}000.
Aplicando as operações
R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1}=R_{2}+3R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}=R_{3}-2R_{1},
ficamos com
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 13\\\\ 0 & 5 & 16 & 47\\\\ 0 & 10 & -3 & 24 \end{array}\right].

Passo 3

O pivot da segunda coluna é a_{22}=5. O multiplicador para zerar abaixo é
m_{32}=\frac{10}{5}=2{,}000.
Fazendo
R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}=R_{3}-2R_{2},
obtemos a forma triangular superior
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 13\\\\ 0 & 5 & 16 & 47\\\\ 0 & 0 & -35 & -70 \end{array}\right].

Passo 4

Agora vem a retro-substituição:
  1. Da 3ª equação -35\,x_{3}=-70 segue
x_{3}=2{,}000.
  1. Na 2ª equação 5\,x_{2}+16\,x_{3}=47 substituímos x_{3}=2{,}000 e achamos
5\,x_{2}+16\cdot2{,}000=47\quad\Longrightarrow\quad x_{2}=3{,}000.
  1. Na 1ª equação x_{1}+2\,x_{2}+4\,x_{3}=13 colocamos x_{2}=3{,}000 e x_{3}=2{,}000:
x_{1}+2\cdot3{,}000+4\cdot2{,}000=13\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=-1{,}000.

Resposta

x_{1}=-1{,}000,\quad x_{2}=3{,}000,\quad x_{3}=2{,}000.

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