Usando o método da bissecção faça as iterações e encontre as aproximações do zero das funções abaixo:
f(x)=e^{-x^{2}}-\cos (x), \xi \in(1,2) e \varepsilon=10^{-3} :

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x)=e^{-x^2}-\cos(x)
no intervalo (1,2) pelo método da bissecção, até que o erro seja menor que \varepsilon=10^{-3}. No método da bissecção, a cada iteração escolhemos o ponto médio c=(a+b)/2 e verificamos o sinal de f\text{(c)} para definir o próximo subintervalo onde ocorre a mudança de sinal.

Passo 2

Verificamos o sinal em \,a_0=1 e \,b_0=2:
f(1)=e^{-1}-\cos(1)\approx0,3679-0,5403=-0,1724,\quad f(2)=e^{-4}-\cos(2)\approx0,0183-(-0,4161)=0,4344.
Como f(1)\,f(2)<0, há raiz em [1,2].

Passo 3

Iteração 1:
c_1=\frac{1+2}{2}=1,5,\quad f(1,5)=e^{-2,25}-\cos(1,5)\approx0,1054-0,0707=0,0347>0.
Como f(1)<0 e f(1,5)>0, o novo intervalo é [1,1{,}5].

Passo 4

Iteração 2:
c_2=\frac{1+1,5}{2}=1,25,\quad f(1,25)=e^{-1,5625}-\cos(1,25)\approx0,2096-0,3153=-0,1057<0.
Sinal oposto a f(1,5), então o novo intervalo é [1,25,\,1,5].

Passo 5

Iteração 3:
c_3=\frac{1,25+1,5}{2}=1,375,\quad f(1,375)=e^{-1,8906}-\cos(1,375)\approx0,1510-0,1938=-0,0428<0.
Sinal oposto a f(1,5), intervalo [1,375,\,1,5].

Passo 6

Iteração 4:
c_4=\frac{1,375+1,5}{2}=1,4375,\quad f(1,4375)\approx0,12698-0,13235=-0,00537<0.
Sinal oposto a f(1,5), intervalo [1,4375,\,1,5].

Passo 7

Iteração 5:
c_5=\frac{1,4375+1,5}{2}=1,46875,\quad f(1,46875)\approx0,11563-0,10287=0,01276>0.
Sinal oposto a f(1,4375), intervalo [1,4375,\,1,46875].

Passo 8

Iteração 6:
c_6=\frac{1,4375+1,46875}{2}=1,453125,\quad f(1,453125)\approx0,12108-0,11761=0,00347>0.
Novo intervalo [1,4375,\,1,453125].

Passo 9

Iteração 7:
c_7=\frac{1,4375+1,453125}{2}=1,4453125,\quad f(1,4453125)\approx0,12401-0,12445=-0,00044<0.
Novo intervalo [1,4453125,\,1,453125].

Passo 10

Iteração 8:
c_8=\frac{1,4453125+1,453125}{2}=1,44921875,\quad f(1,44921875)\approx0,12250-0,12060=0,00190>0.
Novo intervalo [1,4453125,\,1,44921875].

Passo 11

Iteração 9:
c_9=\frac{1,4453125+1,44921875}{2}=1,447265625,
f(1,447265625)\approx0,12326-0,12250=0,00076>0.
O novo intervalo é [1,4453125,\,1,447265625] de comprimento b-a=0{,}001953125. Como
\frac{b-a}{2}=0,00097656<\varepsilon=10^{-3},
o critério de parada é atendido.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx1,4473\quad(\text{com erro menor que }10^{-3}).

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