Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
Com pivotação parcial
\left(\begin{array}{rrr} -2 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & -4 \\\\ 4 & 10 & -6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -5 \\\\ -9 \\\\ 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & -4\\\\ 4 & 10 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\x_{2}\x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\\ -9\\\ 2 \end{pmatrix}
usando eliminação de Gauss com pivotação parcial e arredondando a três casas decimais. Vamos montar a matriz aumentada, escolher pivôs de maior valor absoluto em cada coluna, fazer as eliminações e, por fim, resolução por retro-substituição.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, na primeira coluna, comparamos \lvert -2\rvert,\lvert 2\rvert,\lvert 4\rvert. O maior é 4 (linha 3), então trocamos linha 1 com linha 3:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 10 & -6 & 2\\\\ 2 & 1 & -4 & -9\\\\ -2 & 3 & 1 & -5 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo do pivô a_{11}=4.
Multiplicador para a linha 2:
m_{21} = \frac{2}{4} = 0{,}500.
Multiplicador para a linha 3:
m_{31} = \frac{-2}{4} = -0{,}500.
Aplicando
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - m_{21}\,\text{L}_1
e
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - m_{31}\,\text{L}_1,
ficamos com
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 10 & -6 & 2\\\\ 0 & -4 & -1 & -10\\\\ 0 & 8 & -2 & -4 \end{array}\right]

Passo 4

Na segunda coluna, entre \lvert -4\rvert (linha 2) e \lvert 8\rvert (linha 3), o maior é 8, então trocamos linha 2 com linha 3:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 10 & -6 & 2\\\\ 0 & 8 & -2 & -4\\\\ 0 & -4 & -1 & -10 \end{array}\right]

Passo 5

Eliminamos o elemento abaixo do pivô a_{22}=8.
Multiplicador
m_{32} = \frac{-4}{8} = -0{,}500.
Fazendo \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - m_{32}\,\text{L}_2, vem
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 10 & -6 & 2\\\\ 0 & 8 & -2 & -4\\\\ 0 & 0 & -2 & -12 \end{array}\right]

Passo 6

Agora fazemos retro-substituição:
Da linha 3:
-2\,x_{3} = -12 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = 6{,}000.
Da linha 2:
8\,x_{2} - 2\,x_{3} = -4 \quad\Longrightarrow\quad 8\,x_{2} - 2\cdot6 = -4 \quad\Longrightarrow\quad 8\,x_{2} = 8 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = 1{,}000.
Da linha 1:
4\,x_{1} + 10\,x_{2} - 6\,x_{3} = 2 \quad\Longrightarrow\quad 4\,x_{1} + 10\cdot1 - 6\cdot6 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 4\,x_{1} -26 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 4\,x_{1} = 28 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = 7{,}000.

Resposta

x_{1} = 7{,}000,\quad x_{2} = 1{,}000,\quad x_{3} = 6{,}000.

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