Usando o método de Newton faça as iterações e encontre as aproximações do zero das funções abaixo:
f(x)=x^{3}-x-1, \xi \in(1,2) e \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-6};

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz da função
f(x)=x^{3}-x-1
no intervalo (1,2) usando o método de Newton, com critérios de parada
\lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<10^{-6} e \lvert f(x_{n+1})\rvert<10^{-6}.

Passo 2

Escolhemos como valor inicial
x_{0}=1,5,
e lembramos que a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde
f'(x)=3x^{2}-1.

Passo 3

Primeiras duas iterações:
Cálculo de x_{1}:
x_{1} =1,5 - \frac{(1,5)^{3}-1,5-1}{3\,(1,5)^{2}-1} =1,5 - \frac{0,875}{5,75} \approx1,347826.
Cálculo de x_{2}:
f(x_{1})\approx0,09927, \quad f'(x_{1})\approx4,4528,
x_{2} =1,347826 - \frac{0,09927}{4,4528} \approx1,325538.

Passo 4

Duas últimas iterações e verificação do critério:
Cálculo de x_{3}:
f(x_{2})\approx0,003951, \quad f'(x_{2})\approx4,271,
x_{3} =1,325538 - \frac{0,003951}{4,271} \approx1,324717.
Cálculo de x_{4}:
f(x_{3})\approx-0,000152, \quad f'(x_{3})\approx4,263,
x_{4} =1,324717 - \frac{-0,000152}{4,263} \approx1,324718.
Verificamos
\lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx1{,}01\times10^{-6}<10^{-6}
e
\lvert f(x_{4})\rvert<10^{-6},
portanto para n=3\to4 os critérios de parada já são atendidos.

Resposta

A aproximação do zero é x\approx1,324718.

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