Ludwig Van Bethoven (1770-1827), o compositor de algumas das músicas mais celebradas da história, passou a maior parte de sua carreira surdo. Bethoven afirmava poder compor suas músicas visualizando em sua mente o padrão melódico presente nos graus (notas musicais) das escalas. Um destes padrões harmônicos é o que existe na chamada tríade, um acorde formado por três graus \left(g_{1}, g_{2}\right. e \left.g_{3}\right) presentes na escala tonal da música (se você toca algum instrumento, já sabe quais graus são estes). Após algumas modelagens, os graus presentes no acorde \mathrm{D}_{\mathrm{M}} (Ré Maior) na escala de G (Sol) podem ser determinados por meio da solução do seguinte sistema linear:
Os graus da escala de G são:
(a) Determine para qual(is) método(s) iterativos o sistema acima irá convergir.
(b) Resolva este sistema utilizando o método que você poderá garantir convergência. Utilize como critérios de parada \epsilon_{r} \leq 0.1 ou N_{M A X}=3 e, como solução inicial, x^{(0)}=\left[\begin{array}{ccc}5 & 0 & 0\end{array}\right]^{\mathrm{T}}, afinal espera-se que no acorde \mathrm{D}_{\mathrm{M}} exista a nota D , certo? Obs.: Caso exista mais de um método com convergência garantida, escolha aquele que achar melhor.
(c) Arredondando o resultado o obtido na letra b) para o inteiro mais próximo, responda: Com quais notas se forma um acorde \mathrm{D}_{\mathrm{M}} ?
e pede três coisas:
(a) identificar para qual(is) método(s) iterativos a solução por iteração será garantida convergente;
(b) resolver o sistema com o método escolhido, usando como critério de parada \epsilon_{r}\le 0,1 ou N_{\text{MAX}}=3, com aproximação inicial x^{(0)}=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0\end{bmatrix}^{\mathrm{T}};
(c) arredondar o resultado obtido em (b) ao inteiro mais próximo e dizer que notas formam o acorde \mathrm{D}_{\mathrm{M}} usando a tabela dos graus da escala de G (1 = G, 2 = A, 3 = B, 4 = C, 5 = D, 6 = E, 7 = F#).
Informações relevantes do enunciado: os coeficientes do sistema (a matriz A e o vetor b) são exatamente os dados das três equações acima; a solução pedida nas partes (b) e (c) depende dos critérios de parada dados e da inicialização indicada.
Passo 2
Verificação de condição de convergência por dominância diagonal (explicação didática curta).
Uma condição simples e suficiente que garante convergência dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel é a dominância diagonal estrita por linhas: para cada linha i deve valer |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|. Vamos checar linhas e colunas (pois às vezes a matriz é dominante por colunas):
Matriz dos coeficientes A (extraída do enunciado):
Linha 1: |15| = 15 e soma dos outros |-6|+|-1|=7. Então 15>7 (estritamente dominante).
Linha 2: |-17|=17 e soma dos outros |12|+|13|=25. Aqui 17<25 (não dominante).
Linha 3: |20|=20 e soma dos outros |1|+|4|=5. Então 20>5 (estritamente dominante).
Ou seja, a matriz não é estritamente diagonal dominante por linhas porque a linha 2 falha. Agora por colunas:
Coluna 1: |15|=15 e soma dos outros |12|+|1|=13 → 15>13.
Coluna 2: |-17|=17 e soma dos outros |-6|+|4|=10 → 17>10.
Coluna 3: |20|=20 e soma dos outros |-1|+|13|=14 → 20>14.
Logo A é estritamente diagonal dominante por colunas. (Breve comentário teórico: dominância estrita por linhas garante convergência de Jacobi e Gauss–Seidel. Dominância por colunas é um sinal forte de boa condição numérica e, para fins desta questão prática, é aceita como condição que assegura convergência dos métodos iterativos direta e Gauss–Seidel aqui — isto é suficiente para escolher com segurança um método iterativo que converge.)]
Passo 3
Escolha do método e justificativa.
Vou usar o método de Gauss–Seidel porque:
Ele costuma convergir mais rápido que Jacobi quando a convergência é garantida;
Com a dominância diagonal (aqui por colunas, que aqui implica bom comportamento) podemos garantir convergência prática para o nosso caso;
É direto aplicar com a inicialização dada e com o critério de erro pedido.
Antes de aplicar, explico a ideia do método (didática): em Gauss–Seidel atualizamos as componentes da solução uma a uma usando as fórmulas obtidas isolando cada incógnita em sua equação e, dentro de uma mesma iteração, usamos os valores mais recentes já calculados (isto é, valores já atualizados para componentes anteriores na sequência). Assim, o método é:
para k=0,1,2,\dots e para cada componente i calcular
(Obs.: em cada iteração usamos os valores mais novos para g_1 ao calcular g_2, e os mais novos para g_1,g_2 ao calcular g_3.)]
Passo 4
Critério de parada e definição do erro usado (didática).
Vou usar o critério pedido \epsilon_{r}\le 0,1 ou N_{\text{MAX}}=3. Para \epsilon_{r} vou adotar a definição usual relative-infinity:
onde \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|. Esta é uma medida relativa do maior deslocamento entre duas iterações consecutivas. Vamos aplicar Gauss–Seidel iniciando com
Pela tabela fornecida (graus da escala de G): grau 5 corresponde a D (Ré), grau 7 corresponde a F# (Fá sustenido), e grau 2 corresponde a A (Lá). Isso forma o acorde \mathrm{D}_{\mathrm{M}} = Ré maior = (D, F#, A), que é exatamente o acorde esperado.]
Resposta
(a) Jacobi e Gauss–Seidel (convergência garantida no caso, pois a matriz é estritamente diagonal dominante por colunas).
(b) Solução aproximada após 3 iterações (Gauss–Seidel, x^{(0)}=[5,0,0]^{\mathrm{T}}): \displaystyle x\approx\begin{bmatrix}4{,}883227\\[3pt]7{,}018282\\[3pt]2{,}002182\end{bmatrix}.
(c) Arredondando ao inteiro mais próximo: notas do acorde \mathrm{D}_{\mathrm{M}} são D (Ré), F# (Fá sustenido) e A (Lá).]